Ángulos inscritos y centrales en círculos

Se discuten definiciones y teoremas relacionados con ángulos inscritos y centrales en círculos mediante ejemplos.

Definiciones

1. Un ángulo central de un círculo es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. Por ejemplo, \(\angle BOC\) en la siguiente figura.

2. Un ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice está sobre el círculo y cuyos lados son cuerdas. Por ejemplo, \(\angle CAB\) en la siguiente figura.

Teoremas

1. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que intercepta el mismo arco: \[ \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \] 2. Dos o más ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son congruentes: \[ \angle BAC = \angle BDC \]

Problema

En la siguiente figura, la cuerda \(CA = 12 \text{ cm}\). El círculo con centro \(O\) tiene un radio de \(14 \text{ cm}\). Encuentra la medida del ángulo inscrito \(\angle CBA\) (aproxima a dos decimales).

Solución

1. Primero, encuentra el ángulo central \(\angle COA\). El triángulo \(COA\) es isósceles porque \(CO = AO = 14 \text{ cm}\) (radios).
2. Usa la Ley del Coseno en \(\triangle COA\): \[ CA^2 = CO^2 + AO^2 - 2(CO)(AO)\cos(\angle COA) \] Sustituye los valores conocidos: \[ 12^2 = 14^2 + 14^2 - 2(14)(14)\cos(\angle COA) \] \[ 144 = 392 - 392\cos(\angle COA) \] \[ \cos(\angle COA) = \frac{392 - 144}{392} = \frac{248}{392} = \frac{31}{49} \]
3. Por lo tanto: \[ \angle COA = \arccos\left(\frac{31}{49}\right) \]
4. Según el teorema del ángulo inscrito: \[ \angle CBA = \frac{1}{2} \angle COA = \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{31}{49}\right) \] Evaluando: \[ \angle CBA \approx 25.38^\circ \]

Geometría problemas con soluciones