Problema de triángulo rectángulo inscrito con solución detallada.
En la siguiente figura, el triángulo \(ABC\) está inscrito dentro del círculo con centro \(O\) y radio \(r = 10\) cm. Encuentra las longitudes de \(AB\) y \(CB\) para que el área de la región sombreada sea el doble del área del triángulo.
Dado que \(O\) se encuentra sobre \(AC\), \(AC\) es un diámetro del círculo. Por el teorema de Tales, el triángulo \(ABC\) tiene un ángulo recto en \(B\).
Sea:
El área combinada del triángulo y la región sombreada es igual a la mitad del área del círculo: \[ A_t + A_s = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (10)^2 = 50\pi. \] Sustituyendo \(A_s = 2A_t\): \[ A_t + 2A_t = 50\pi \quad \Rightarrow \quad 3A_t = 50\pi \quad \Rightarrow \quad A_t = \frac{50\pi}{3}. \]
Usando el ángulo \(A\) (interno al triángulo): \[ \sin A = \frac{CB}{AC} = \frac{CB}{20} \quad \Rightarrow \quad CB = 20 \sin A, \] \[ \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{20} \quad \Rightarrow \quad AB = 20 \cos A. \] El área \(A_t\) también se puede expresar como: \[ A_t = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CB = \frac{1}{2} (20 \cos A)(20 \sin A) = 200 \cos A \sin A. \] Usando la identidad \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\): \[ A_t = 100 \sin 2A. \] Igualando con la expresión anterior: \[ 100 \sin 2A = \frac{50\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \sin 2A = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236. \]
Resolviendo para \(2A\): \[ 2A = \arcsin(0.5236) \approx 31.6^\circ \quad \text{o} \quad 2A = 180^\circ - 31.6^\circ = 148.4^\circ. \] Por lo tanto: \[ A \approx 15.8^\circ \quad \text{o} \quad A \approx 74.2^\circ. \]
Primera solución (\(A \approx 15.8^\circ\)): \[ AB = 20 \cos 15.8^\circ \approx 19.24 \text{ cm}, \quad CB = 20 \sin 15.8^\circ \approx 5.45 \text{ cm}. \] Segunda solución (\(A \approx 74.2^\circ\)): \[ AB = 20 \cos 74.2^\circ \approx 5.45 \text{ cm}, \quad CB = 20 \sin 74.2^\circ \approx 19.24 \text{ cm}. \] Las dos soluciones corresponden a dos triángulos rectángulos congruentes (los roles de \(AB\) y \(CB\) están intercambiados).
Geometría problemas con soluciones