El teorema de las cuerdas secantes [1] establece que para dos cuerdas cualesquiera \( A B \) y \( E D \) que se intersecan en el punto \( O \), tenemos \[ OA \times OB = OE \times OD \]
Considera el círculo con cuerdas \( A B \) y \( E D \).
El teorema de las cuerdas secantes [1] establece que para dos cuerdas cualesquiera \( A B \) y \( E D \) que se intersecan en el punto \( O \), tenemos \[ OA \times OB = OE \times OD \]
Pregunta 1
Encuentra \( x \) en el siguiente diagrama.
Solución
Aplica el teorema de las cuerdas secantes a \( AB \) y \( ED \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OE \times OD \)
Sustituye las cantidades conocidas: \( \quad 2 \times 5 = 6 \times x \)
Resuelve para \( x \): \( \quad x = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \)
Pregunta 2
Encuentra \( x \) y \( y \) en el siguiente diagrama.
Solución
Aplica el teorema de las cuerdas secantes a \( AB \) y \( CD \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OD \times OC \)
Sustituye las cantidades conocidas: \( \quad 7 \times 10 = 12 \times x \)
Resuelve para \( x \): \( \quad x = \dfrac{70}{12} = \dfrac{35}{6} \)
Aplica el teorema de las cuerdas secantes a \( AB \) y \( EF \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OF \times OE \)
Sustituye las cantidades conocidas: \( \quad 7 \times 10 = 11 \times y \)
Resuelve para \( y \): \( \quad y = \dfrac{70}{11} \)
Pregunta 3
Encuentra \( x \) en el siguiente diagrama.
Solución
Aplica el teorema de las cuerdas secantes a \( AB \) y \( CD \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OD \times OC \)
Sustituye las cantidades conocidas: \( \quad 10 \times (2x-1) = (2x+3) \times 3 \)
Expande: \( \quad 20x - 10 = 6x + 9 \)
Reescribe la ecuación anterior con los términos en \( x \) en un lado de la ecuación: \( \quad 20x - 6x = 9 + 10 \)
Agrupa y resuelve para \( x \): \( \quad x = \dfrac{19}{14} \)
Pregunta 4
Encuentra \( x \) en el siguiente diagrama.
Solución
Aplica el teorema de las cuerdas secantes a \( AB \) y \( CD \) para escribir: \( \quad OA \times OB = OD \times OC \)
Sustituye con las expresiones en \( x \): \( \quad (x-1) \times (x+6) = (2x+3) \times (x-2) \)
Expande: \( \quad x^2+5x-6 = 2x^2-x-6 \)
Reescribe la ecuación anterior en su forma estándar: \( \quad x^2-6x = 0 \)
Factoriza el lado derecho: \( \quad x(x-6) = 0 \)
Resuelve para \( x \) para obtener dos soluciones: \( \quad x = 0 \) y \( x = 6 \).
Si sustituyes \( x = 0 \) en la expresión algebraica dada \( OC = x - 2 \), esto dará \( OC = -2 \), una longitud negativa que no está permitida.
Por lo tanto, la única solución válida es \( x = 6 \).
Pregunta 5
¿Cuál es la razón \( r \) del área del triángulo \( OBD \) al área del triángulo \( OCA \)?
Solución
Usamos la fórmula de la razón del seno para el área de un triángulo.
Área de \( \; \triangle OBD = \dfrac{1}{2} \times OD \times 10 \times \sin \angle BOD \)
Área de \( \; \triangle OCA = \dfrac{1}{2} \times 2 \times OA \times \sin \angle COA \)
La razón \( r \) está dada por: \( \quad r = \dfrac{\dfrac{1}{2} \times OD \times 10 \times \sin \angle BOD}{\dfrac{1}{2} \times 2 \times OA \times \sin \angle COA } \)
Los ángulos \( \angle BOD \) y \( \angle COA \) tienen igual magnitud porque son ángulos opuestos por el vértice y por lo tanto \( \sin \angle BOD = \sin \angle COA\)
Ahora simplificamos la expresión de \( r \): \( \quad r = \dfrac{ OD \times 10 }{2 \times OA } = 5 \dfrac{OD}{OA} \)
Aplica el teorema de las cuerdas secantes a \( AB \) y \( CD \) para escribir: \( \quad OA \times 10 = OD \times 2 \)
Por lo tanto: \( \quad \dfrac{OD}{OA} = \dfrac{10}{2} = 5\)
Sustituye para obtener: \( \quad r = 5 \times 5 = 25 \)