Área de un Octágono Regular - Problema con Solución

Enunciado del Problema

Dado un octágono regular con una distancia de \(10\) cm entre dos lados opuestos (span), encontrar:

1. La longitud de un lado \(x\)
2. El perímetro \(P\)
3. El área \(A\)

Solución

1. Ángulo Interior

Un octágono regular tiene \(8\) lados. La medida de un ángulo interior es: \[ \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = 135^\circ \]

2. Analizar el Triángulo Rectángulo Isósceles

Considere el triángulo \(ABC\) donde \(AC \perp BC\). Dado que el ángulo interior es \(135^\circ\), el ángulo \(ABC\) es: \[ 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ \] Por lo tanto, el triángulo \(ABC\) es un triángulo rectángulo isósceles.

3. Establecer Ecuaciones

Sea \(x\) la longitud del lado del octágono e \(y\) los catetos iguales del triángulo \(ABC\). El span de \(10\) cm es igual a \(x + 2y\): \[ x + 2y = 10 \quad \text{(1)} \] Por el teorema de Pitágoras en el triángulo \(ABC\): \[ x^2 = y^2 + y^2 = 2y^2 \quad \text{(2)} \]

4. Resolver para la Longitud del Lado \(x\)

De la ecuación (2): \( y = \frac{x}{\sqrt{2}} \).
Sustituir en la ecuación (1): \[ x + 2\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = 10 \] \[ x + \sqrt{2}x = 10 \] \[ x(1 + \sqrt{2}) = 10 \] \[ x = \frac{10}{1 + \sqrt{2}} \ \text{cm} \] Racionalizando el denominador: \[ x = \frac{10}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = 10(\sqrt{2} - 1) \ \text{cm} \] Numéricamente: \( x \approx 4.142 \ \text{cm} \)

5. Calcular el Perímetro \(P\)

\[ P = 8x = 8 \times \frac{10}{1 + \sqrt{2}} = \frac{80}{1 + \sqrt{2}} \ \text{cm} \] Forma racionalizada: \[ P = 80(\sqrt{2} - 1) \ \text{cm} \quad (\approx 33.137 \ \text{cm}) \]

6. Calcular el Área \(A\)

Método: Restar las áreas de los cuatro triángulos rectángulos del área del cuadrado circunscrito de lado \(10\) cm. \[ A = 10^2 - 4 \times \left( \frac{1}{2} y^2 \right) = 100 - 2y^2 \] De la ecuación (2): \( y^2 = \frac{x^2}{2} \). Por lo tanto: \[ A = 100 - 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) = 100 - x^2 \] Sustituir \( x = 10(\sqrt{2} - 1) \): \[ x^2 = 100(3 - 2\sqrt{2}) \] \[ A = 100 - 100(3 - 2\sqrt{2}) = 100(1 - 3 + 2\sqrt{2}) = 200(\sqrt{2} - 1) \ \text{cm}^2 \] Numéricamente: \( A \approx 82.842 \ \text{cm}^2 \)

Respuestas Finales

1. Longitud del lado: \( x = 10(\sqrt{2} - 1) \ \text{cm} \approx 4.142 \ \text{cm} \)
2. Perímetro: \( P = 80(\sqrt{2} - 1) \ \text{cm} \approx 33.137 \ \text{cm} \)
3. Área: \( A = 200(\sqrt{2} - 1) \ \text{cm}^2 \approx 82.842 \ \text{cm}^2 \)

Fórmulas Generales (para cualquier span \( S \))

• Longitud del lado: \( x = \frac{S}{1 + \sqrt{2}} = S(\sqrt{2} - 1) \)
• Perímetro: \( P = \frac{8S}{1 + \sqrt{2}} = 8S(\sqrt{2} - 1) \)
• Área: \( A = 2S^2(\sqrt{2} - 1) \)

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