Problemas de Geometría de Rectángulos

Problemas que involucran dimensiones de rectángulos, área, perímetro y diagonal con soluciones completas.

Fórmulas del Rectángulo

Perímetro: \( P = 2W + 2L \)

Área: \( A = L \times W \)

Diagonal: \( d = \sqrt{L^2 + W^2} \)

donde \( L \) = largo y \( W \) = ancho.

Problemas

Problema 1

Un rectángulo tiene un perímetro de 320 metros. Su largo \( L \) es tres veces su ancho \( W \). Encuentra las dimensiones \( W \) y \( L \), y el área.

Problema 2

El perímetro de un rectángulo es 50 pies y su área es 150 pies². Encuentra el largo \( L \) y el ancho \( W \) donde \( L > W \).

Problema 3

La diagonal \( d \) de un rectángulo mide 100 pies. El largo \( y \) es el doble del ancho \( x \). Encuentra el área.

diagrama de rectángulo

Problema 4

Determina si los puntos \( A(-1, 0) \), \( B(5, 2) \), \( C(4, 5) \), y \( D(-2, 3) \) son vértices de un rectángulo.

puntos en el plano coordenado

Soluciones

Solución al Problema 1

  1. Fórmula del perímetro: \( 2L + 2W = 320 \)
  2. Dado \( L = 3W \)
  3. Sustituir: \( 2(3W) + 2W = 320 \)
  4. Simplificar: \( 6W + 2W = 320 \)
  5. Resolver: \( 8W = 320 \) → \( W = 40 \) metros
  6. Entonces \( L = 3W = 120 \) metros
  7. Área: \( A = L \times W = 120 \times 40 = 4800 \) m²

Solución al Problema 2

  1. Perímetro: \( 2L + 2W = 50 \) → \( L + W = 25 \)
  2. Área: \( L \times W = 150 \)
  3. De (1): \( W = 25 - L \)
  4. Sustituir en (2): \( L(25 - L) = 150 \)
  5. Expandir: \( -L^2 + 25L - 150 = 0 \)
  6. Multiplicar por -1: \( L^2 - 25L + 150 = 0 \)
  7. Factorizar: \( (L - 10)(L - 15) = 0 \)
  8. Soluciones: \( L = 10 \) o \( L = 15 \)
  9. Anchos correspondientes: \( W = 15 \) o \( W = 10 \)
  10. Dado que \( L > W \): \( L = 15 \) pies, \( W = 10 \) pies
  11. Verificación: Área = \( 15 \times 10 = 150 \) pies², Perímetro = \( 2(15+10) = 50 \) pies

Solución al Problema 3

  1. Teorema de Pitágoras: \( x^2 + y^2 = 100^2 \)
  2. Dado \( y = 2x \)
  3. Sustituir: \( x^2 + (2x)^2 = 10000 \)
  4. Simplificar: \( x^2 + 4x^2 = 10000 \) → \( 5x^2 = 10000 \)
  5. Resolver: \( x^2 = 2000 \) → \( x = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \) pies
  6. Entonces \( y = 2x = 40\sqrt{5} \) pies
  7. Área: \( A = x \times y = (20\sqrt{5}) \times (40\sqrt{5}) = 800 \times 5 = 4000 \) pies²

Solución al Problema 4

  1. Calcular pendientes:
    • \( m_{AB} = \frac{2-0}{5-(-1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
    • \( m_{BC} = \frac{5-2}{4-5} = \frac{3}{-1} = -3 \)
    • \( m_{CD} = \frac{3-5}{-2-4} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \)
    • \( m_{DA} = \frac{0-3}{-1-(-2)} = \frac{-3}{1} = -3 \)
  2. Lados opuestos paralelos: \( AB \parallel CD \) (pendientes iguales \( \frac{1}{3} \)) y \( BC \parallel DA \) (pendientes iguales \( -3 \))
  3. Lados adyacentes perpendiculares: \( m_{AB} \times m_{BC} = \frac{1}{3} \times (-3) = -1 \)
  4. Por lo tanto, el cuadrilátero tiene ángulos rectos y lados opuestos paralelos → rectángulo.

Recursos Adicionales

Geometría problemas con soluciones