Área de Polígonos Regulares

Una guía completa sobre polígonos regulares: fórmulas de área, relaciones entre la longitud del lado, radios inscrito y circunscrito, y una herramienta de visualización interactiva. Pruebe también el Calculador de Polígonos Regulares.

Fórmulas de Área para Polígonos Regulares

Un polígono regular tiene todos los lados iguales y todos los ángulos interiores iguales. A continuación se muestra un pentágono regular (5 lados):

Donde:

• $x$ = longitud del lado
• $r$ = radio del círculo inscrito (apotema)
• $R$ = radio del círculo circunscrito
• $n$ = número de lados
• $t = \frac{360^\circ}{n}$ = ángulo central

Relaciones Entre $x$, $r$ y $R$

De la trigonometría del triángulo rectángulo: $$ \tan\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{x/2}{r} $$ $$ \sin\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{x/2}{R} $$ Resolviendo para $r$ y $R$: $$ r = \frac{x}{2} \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $$ $$ R = \frac{x}{2} \csc\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $$

Fórmula 1: Usando Longitud del Lado y Apotema

Área de un triángulo = $\frac{1}{2} \cdot x \cdot r$
Área total: $$ A = \frac{1}{2} n x r $$

Fórmula 2: Usando el Circunradio $R$

Área de un triángulo = $\frac{1}{2} R^2 \sin(t)$
Área total: $$ A = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) $$

Fórmula 3: Usando Solo la Longitud del Lado

Sustituya $r$ de la fórmula anterior en la Fórmula 1: $$ A = \frac{1}{4} n x^2 \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $$

Fórmula 4: Usando Solo la Apotema

De $x = 2r \tan(180^\circ/n)$ y la Fórmula 1: $$ A = n r^2 \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right) $$

Nombres de Polígonos por Número de Lados

Visualización Interactiva

Instrucciones:

1. Haga clic en "Dibujar" para generar el polígono.
2. Ajuste el número de lados ($n$) usando el control deslizante o el cuadro de entrada.
3. Observe cómo el polígono se aproxima a un círculo a medida que $n$ aumenta.

Soluciones a los Ejercicios

Problema: A medida que $n$ aumenta, ¿qué sucede con las áreas del círculo circunscrito, el polígono y el círculo inscrito?

Solución:

• El área del círculo circunscrito permanece constante ($\pi R^2$).
• El área del círculo inscrito aumenta y se aproxima al área del círculo circunscrito. Su radio es $r = R \cos(180^\circ/n) \to R$ cuando $n \to \infty$.
• El área del polígono aumenta y se aproxima al área del círculo circunscrito desde abajo. Cuando $n \to \infty$, el polígono se convierte en un círculo.

Por lo tanto, las tres áreas convergen al mismo valor: $\pi R^2$.

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