La rotación es una transformación que gira una forma alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación en un ángulo y dirección específicos.
Sea \( (x,y) \) las coordenadas de un punto. Las coordenadas \( (x',y') \) después de la rotación están dadas por:
| Rotación | Regla de Coordenadas | Forma Matricial |
|---|---|---|
| \( 90^\circ \) CCW | \( (x, y) \rightarrow (x' = -y, y' = x) \) | \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) |
| \( 180^\circ \) | \( (x, y) \rightarrow (x' = -x, y' = -y) \) | \( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) |
| \( 270^\circ \) CCW | \( (x, y) \rightarrow (x' = y, y' = -x) \) | \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) |
| \( 360^\circ \) | \( (x, y) \rightarrow (x' = x, y' = y) \) | \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) |
Para una rotación general por ángulo \( \theta \):
\[ \begin{aligned} x' &= x \cos\theta - y \sin\theta \\ y' &= x \sin\theta + y \cos\theta \end{aligned} \]
Haz clic para agregar puntos. Usa el deslizador o la entrada de ángulo para rotarlos. Los puntos se etiquetan A, B, C (rojo) y sus imágenes rotadas A', B', C' (azul).
El punto \( P(3, 4) \) se rota \( 90^\circ \) en sentido antihorario alrededor del origen. Encuentra las coordenadas de \( P' \).
El triángulo \( ABC \) tiene vértices \( A(1, 1) \), \( B(4, 1) \) y \( C(2, 5) \). Encuentra los vértices después de una rotación de \( 180^\circ \) alrededor del origen.
El punto \( Q(-2, 5) \) se rota \( 270^\circ \) en sentido antihorario alrededor del origen. Encuentra las coordenadas de \( Q' \).
Usando la regla de \( 90^\circ \) CCW: \( (x, y) \rightarrow (-y, x) \)
\[ \begin{aligned} P(3, 4) &\rightarrow P'(-4, 3) \\ x' &= -y = -4 \\ y' &= x = 3 \end{aligned} \]
Respuesta: \( P'(-4, 3) \)
Usando la regla de rotación de \( 180^\circ \): \( (x, y) \rightarrow (-x, -y) \)
\[ \begin{aligned} A(1, 1) &\rightarrow A'(-1, -1) \\ B(4, 1) &\rightarrow B'(-4, -1) \\ C(2, 5) &\rightarrow C'(-2, -5) \end{aligned} \]
Respuesta: \( A'(-1, -1) \), \( B'(-4, -1) \), \( C'(-2, -5) \)
Usando la regla de \( 270^\circ \) CCW: \( (x, y) \rightarrow (y, -x) \)
\[ \begin{aligned} Q(-2, 5) &\rightarrow Q'(5, 2) \\ x' &= y = 5 \\ y' &= -x = -(-2) = 2 \end{aligned} \]
Respuesta: \( Q'(5, 2) \)