Problemas de práctica sobre sectores y círculos con soluciones matemáticas detalladas.
En la siguiente figura, el arco \( \overset{\frown}{AB} \) tiene una longitud igual al doble del radio \( r \) del círculo. Encuentra el área del sector \( OAB \) en términos de \( r \).
Un sector tiene un ángulo central de \( 40^\circ \) y un área de \( 20 \text{ cm}^2 \). Calcula la longitud del arco del sector.
En la figura de abajo, \( \overset{\frown}{AB} \) y \( \overset{\frown}{DC} \) son arcos de círculos concéntricos con centro \( O \). El perímetro de la figura \( ABCD \) es de 22 cm. Calcula:
a) El ángulo \( \angle AOB \) (en radianes)
b) El área de la figura \( ABCD \)
La fórmula de la longitud del arco es:
\[ \text{longitud del arco} = r \cdot \theta \]
Dado \( \text{longitud del arco} = 2r \):
\[ 2r = r \cdot \theta \implies \theta = 2 \text{ radianes} \]
La fórmula del área del sector es:
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} r^2 \theta \]
Sustituyendo \( \theta = 2 \):
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} r^2 \cdot 2 = r^2 \]
Por lo tanto, el área del sector \( OAB \) es \( r^2 \).
La fórmula del área del sector es:
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} r^2 \theta \]
Convierte \( 40^\circ \) a radianes: \( 40^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{9} \).
Dado \( \text{Área} = 20 \):
\[ 20 = \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{2\pi}{9} \]
\[ 20 = \frac{\pi r^2}{9} \implies r^2 = \frac{180}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{180}{\pi}} \]
La fórmula de la longitud del arco es:
\[ s = r \theta = \sqrt{\frac{180}{\pi}} \cdot \frac{2\pi}{9} \]
\[ s = \frac{2\pi}{9} \cdot \sqrt{\frac{180}{\pi}} = \frac{2}{9} \sqrt{180\pi} \]
\[ s = \frac{2}{9} \sqrt{36 \cdot 5\pi} = \frac{2}{9} \cdot 6 \sqrt{5\pi} = \frac{4\sqrt{5\pi}}{3} \]
Numéricamente: \( s \approx 5.3 \text{ cm} \) (con 1 decimal).
Sea \( \theta \) (en radianes) el ángulo \( \angle AOB \). El perímetro es:
\[ \overset{\frown}{AB} + 6 + \overset{\frown}{DC} + 6 = 22 \]
Usando las fórmulas de longitud de arco:
\[ \overset{\frown}{AB} = 2\theta, \quad \overset{\frown}{DC} = 8\theta \]
Por lo tanto:
\[ 2\theta + 6 + 8\theta + 6 = 22 \]
\[ 10\theta + 12 = 22 \implies 10\theta = 10 \implies \theta = 1 \text{ radián} \]
Área de la figura \( ABCD \) = Área del sector grande − Área del sector pequeño:
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot 1 \]
\[ \text{Área} = 32 - 2 = 30 \text{ cm}^2 \]