Usando la Ley de Senos para Resolver Problemas de Triángulos

Este tutorial demuestra cómo resolver problemas de triángulos usando la Ley de Senos. Incluye soluciones detalladas y ejercicios de práctica. También se cubre el caso ambiguo (LLA), donde se dan dos lados y un ángulo no incluido.

Problema 1

En el triángulo \(ABC\), dados \(A = 106^\circ\), \(B = 31^\circ\), y el lado \(a = 10\) cm. Resuelve el triángulo encontrando el ángulo \(C\) y los lados \(b\) y \(c\). Redondea las respuestas a un decimal.

Problema 2

Los ángulos de elevación hacia la parte superior \(C\) de un edificio desde dos puntos \(A\) y \(B\) en el suelo nivelado son \(50^\circ\) y \(60^\circ\), respectivamente. La distancia entre \(A\) y \(B\) es de 30 metros. Los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) están en el mismo plano vertical. Encuentra la altura \(h\) del edificio. Redondea al metro más cercano.

Diagrama para el Problema 2

Problema 3

En el triángulo \(ABC\), dados el lado \(a = 12\) cm, el lado \(b = 19\) cm, y el ángulo \(A = 80^\circ\) (el ángulo \(A\) es opuesto al lado \(a\)). Encuentra el lado \(c\) y los ángulos \(B\) y \(C\) si es posible. Redondea las respuestas a un decimal.

Problema 4

En el triángulo \(ABC\), dados el lado \(a = 14\) cm, el lado \(b = 19\) cm, y el ángulo \(A = 32^\circ\) (el ángulo \(A\) es opuesto al lado \(a\)). Encuentra el lado \(c\) y los ángulos \(B\) y \(C\) si es posible. Redondea las respuestas a un decimal.

Ejercicios de Práctica

El triángulo \(ABC\) tiene \(A = 104^\circ\), \(C = 33^\circ\), y el lado \(c = 9\) m. Resuelve el triángulo encontrando el ángulo \(B\) y los lados \(a\) y \(b\). Redondea las respuestas a un decimal.
Repite el Problema 2 con la distancia entre los puntos \(A\) y \(B\) igual a 50 metros.

Soluciones Detalladas

Solución al Problema 1

Encuentra el ángulo \(C\) usando la suma de ángulos de un triángulo: \[ C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (106^\circ + 31^\circ) = 43^\circ \]
Usa la Ley de Senos para encontrar el lado \(b\): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{10 \sin 31^\circ}{\sin 106^\circ} \approx 5.4 \text{ cm} \]
Usa la Ley de Senos para encontrar el lado \(c\): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{10 \sin 43^\circ}{\sin 106^\circ} \approx 7.1 \text{ cm} \]

Solución al Problema 2

En el triángulo \(ABC\), el ángulo \(B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (suplementario).
Ángulo \(C = 180^\circ - (50^\circ + 120^\circ) = 10^\circ\).
Aplica la Ley de Senos para encontrar \(d\) (distancia desde \(A\) hasta la base del edificio): \[ \frac{d}{\sin 50^\circ} = \frac{30}{\sin 10^\circ} \implies d = \frac{30 \sin 50^\circ}{\sin 10^\circ} \]
En el triángulo rectángulo: \(\sin 60^\circ = \frac{h}{d} \implies h = d \sin 60^\circ\).
Combina y calcula: \[ h = \frac{30 \sin 50^\circ \sin 60^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 115 \text{ metros} \]

Solución al Problema 3

Aplica la Ley de Senos: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{19 \sin 80^\circ}{12} \approx 1.56 \]
Dado que \(\sin B > 1\), no existe un ángulo \(B\) real. Este triángulo no tiene solución.

Solución al Problema 4

Este es un caso ambiguo (LLA) con dos triángulos posibles.

Aplica la Ley de Senos: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{19 \sin 32^\circ}{14} \approx 0.7192 \]
Dos ángulos satisfacen \(\sin B = 0.7192\): \[ B_1 = \arcsin(0.7192) \approx 46.0^\circ \quad \text{y} \quad B_2 = 180^\circ - 46.0^\circ = 134.0^\circ \]

Solución 1:

\(C_1 = 180^\circ - A - B_1 = 180^\circ - 32^\circ - 46.0^\circ = 102.0^\circ\)
\(c_1 = \frac{a \sin C_1}{\sin A} = \frac{14 \sin 102.0^\circ}{\sin 32^\circ} \approx 25.8 \text{ cm}\)

Solución 2:

\(C_2 = 180^\circ - A - B_2 = 180^\circ - 32^\circ - 134.0^\circ = 14.0^\circ\)
\(c_2 = \frac{a \sin C_2}{\sin A} = \frac{14 \sin 14.0^\circ}{\sin 32^\circ} \approx 6.4 \text{ cm}\)

Soluciones a los Ejercicios

\(B = 180^\circ - (104^\circ + 33^\circ) = 43^\circ\).
\(a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{9 \sin 104^\circ}{\sin 33^\circ} \approx 16.0 \text{ m}\).
\(b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{9 \sin 43^\circ}{\sin 33^\circ} \approx 11.3 \text{ m}\).
Usando el mismo método que en el Problema 2 con \(AB = 50\) m:
\[ h = \frac{50 \sin 50^\circ \sin 60^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 191 \text{ metros} \]