Problemas de área y perímetro de cuadrados con soluciones detalladas.
Problemas
Problema 1
Cuando los lados de un cuadrado se aumentan cada uno en 2 pies, su área aumenta en 44 pies². Encuentra la longitud del lado original \( s \).
Problema 2
Calcula el área y el perímetro de un cuadrado con una diagonal de 200 metros.
Problema 3
¿Qué sucede con el área de un cuadrado si duplicamos la longitud de su lado?
Problema 4
Un jardín cuadrado de 400 m² está rodeado por un camino de ancho constante \( x \). El área total del camino es 500 m². Encuentra el ancho \( x \).
Soluciones Detalladas
Solución al Problema 1
Sea \( s \) la longitud del lado original.
Área original: \( A_1 = s^2 \)
Nueva longitud del lado: \( s + 2 \)
Nueva área: \( A_2 = (s + 2)^2 \)
Dado: \( A_2 = A_1 + 44 \)
Por lo tanto: \( s^2 + 44 = (s + 2)^2 \)
Expande: \( s^2 + 44 = s^2 + 4s + 4 \)
Simplifica: \( 44 = 4s + 4 \)
Resuelve: \( 4s = 40 \)
Así: \( s = 10 \) pies
Verificación: Área original = \( 10^2 = 100 \) pies², Nueva área = \( 12^2 = 144 \) pies², Diferencia = 44 pies² ✓
Solución al Problema 2
Usando la fórmula de la diagonal: \( d = s\sqrt{2} \)
Dado \( d = 200 \) m, entonces \( s\sqrt{2} = 200 \)
Por lo tanto: \( s = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \) m
Área: \( A = s^2 = (100\sqrt{2})^2 = 20000 \) m²
Perímetro: \( P = 4s = 4 \times 100\sqrt{2} = 400\sqrt{2} \) m
Solución al Problema 3
Sea lado original = \( s \), área = \( s^2 \)
Nuevo lado = \( 2s \), nueva área = \( (2s)^2 = 4s^2 \)
Relación: \( \frac{4s^2}{s^2} = 4 \)
Respuesta: El área se vuelve 4 veces más grande.
Solución al Problema 4
Área del jardín = 400 m², entonces longitud del lado = \( \sqrt{400} = 20 \) m
Área total (jardín + camino) = \( 400 + 500 = 900 \) m²
Sea ancho del camino = \( x \)
Longitud total del lado = \( 20 + 2x \)
Ecuación: \( (20 + 2x)^2 = 900 \)
Toma la raíz cuadrada: \( 20 + 2x = 30 \) (raíz positiva ya que la longitud > 0)
Resuelve: \( 2x = 10 \)
Así: \( x = 5 \) m
Verificación: Lado total = 30 m, área total = 900 m², área del camino = 900 - 400 = 500 m² ✓