Un círculo está inscrito en un cuadrado grande y circunscrito alrededor de un cuadrado pequeño. Si \(A_1\) es el área del cuadrado grande y \(A_2\) es el área del cuadrado pequeño, encuentra la razón \(A_1/A_2\).
Un círculo está inscrito en un cuadrado y circunscrito alrededor de otro cuadrado como se muestra a continuación. Sea \(A_1\) el área del cuadrado grande y \(A_2\) el área del cuadrado pequeño. Determina la razón \(A_1/A_2\).
Sea \(x\) la longitud del lado del cuadrado pequeño. Entonces:
Paso 1: Área del cuadrado pequeño
\(A_2 = x^2\)
Paso 2: Diagonal del cuadrado pequeño
Usando el teorema de Pitágoras:
\(d^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\)
\(d = x\sqrt{2}\)
Paso 3: Relacionar con el cuadrado grande
La diagonal \(d\) del cuadrado pequeño es igual a la longitud del lado del cuadrado grande (como se observa en el diagrama).
Paso 4: Área del cuadrado grande
\(A_1 = (x\sqrt{2})^2 = 2x^2\)
Paso 5: Calcular la razón
\(\displaystyle \frac{A_1}{A_2} = \frac{2x^2}{x^2} = 2\)
La razón de las áreas es \(A_1/A_2 = 2\).
El círculo actúa como intermediario: toca el cuadrado grande en los puntos medios de sus lados (inscrito) y pasa por los vértices del cuadrado pequeño (circunscrito). La diagonal del cuadrado pequeño es igual al lado del cuadrado grande porque ambos conectan puntos opuestos donde el círculo toca los cuadrados.
Sea el círculo de radio \(r\). Entonces:
Ambos métodos confirman el resultado.