Un trapecio con bases \(b\) y \(d\) (con \(d > b\)), lados \(a\) y \(c\), y lados paralelos \(AD\) y \(BC\) se muestra a continuación. Calcula todos sus ángulos y su altura \(h\).
Usando el trapecio de arriba, dibuja \(BB'\) paralelo a \(CD\).
Usando el triángulo \(ABB'\), aplica la ley del coseno:
\[ c^2 = a^2 + (d - b)^2 - 2a(d - b)\cos(\angle BAD) \]
\[ \cos(\angle BAD) = \frac{a^2 + (d - b)^2 - c^2}{2a(d - b)} \]
\[ \angle BAD = \arccos\left(\frac{a^2 + (d - b)^2 - c^2}{2a(d - b)}\right) \]
En la misma figura, \(\angle BB'A\) y \(\angle CDA\) son iguales.
Usando el triángulo \(ABB'\) de nuevo:
\[ a^2 = c^2 + (d - b)^2 - 2c(d - b)\cos(\angle BB'A) \]
\[ \cos(\angle BB'A) = \frac{c^2 + (d - b)^2 - a^2}{2c(d - b)} \]
\[ \angle CDA = \angle BB'A = \arccos\left(\frac{c^2 + (d - b)^2 - a^2}{2c(d - b)}\right) \]
Como \(AD \parallel BC\), los pares de ángulos son suplementarios:
\[ \angle ABC = 180^\circ - \angle BAD, \quad \angle DCB = 180^\circ - \angle CDA \]
\[ h = a \sin(\angle BAD) = a \sin(\angle ABC) \]
\[ \text{Área} = \frac{1}{2}(b + d)h \]
Aplica la ley del coseno en los triángulos \(DAB\) y \(BCD\):
\[ BD^2 = a^2 + d^2 - 2ad \cos(\angle BAD) \]
\[ BD = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\angle BAD)} \]
\[ AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos(\angle CDA) \]
\[ AC = \sqrt{c^2 + d^2 - 2cd \cos(\angle CDA)} \]
Dados: Bases \(d > b\), lados \(a\) y \(c\), con \(AD \parallel BC\).
Ángulos:
\(\displaystyle \angle BAD = \arccos\left(\frac{a^2 + (d - b)^2 - c^2}{2a(d - b)}\right)\)
\(\displaystyle \angle CDA = \arccos\left(\frac{c^2 + (d - b)^2 - a^2}{2c(d - b)}\right)\)
\(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD\)
\(\angle DCB = 180^\circ - \angle CDA\)
Altura:
\(h = a \sin(\angle BAD)\)
Área:
\(\displaystyle A = \frac{1}{2}(b + d)h\)
Diagonales:
\(\displaystyle BD = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad \cos(\angle BAD)}\)
\(\displaystyle AC = \sqrt{c^2 + d^2 - 2cd \cos(\angle CDA)}\)