Más de dos puntos son colineales si están en la misma línea.
Dados tres puntos \( A \), \( B \) y \( C \), una calculadora en línea para calcular las pendientes de la línea que pasa por \( A \) y \( B \), y la línea que pasa por \( B \) y \( C \) y, por tanto, decidir si los tres puntos son colineales o no.
Los tres puntos \( A(x_A,y_A) \), \( B(x_B,y_B)\) y \( C(x_C,y_C) \) son colineales si las pendientes de las rectas que pasan por dos puntos cualesquiera son iguales.
La pendiente \( m_{AB} \) de la recta que pasa por \( A \) y \( B \) está dada por
\( m_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B-x_A} \)
La pendiente \( m_{AC} \) de la recta que pasa por \( A \) y \( C \) está dada por
\( m_{AC} = \dfrac{y_C - y_A}{x_C-x_A} \)
La pendiente \( m_{BC} \) de la recta que pasa por \( B \) y \( C \) está dada por
\( m_{BC} = \dfrac{y_C - y_B}{x_C-x_B} \)
La ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \) se puede escribir como
\( y - y_B = m_{AB}(x - x_B ) \)
Para que el punto \( C \) esté en la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \), se puede satisfacer la siguiente ecuación
\( y_C - y_B = m_{AB}(x_C - x_B ) \)
que puede escribirse como
\( m_{AB} = \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = m_{BC}\)
Conclusión: Para que los tres puntos sean colineales, debemos satisfacer lo siguiente
\( m_{AB} = m_{BC} \)
Ejemplo
¿Son los puntos \( A(-1,5) \) , \( B(1,1) \) y \( C(3,-3) \) colineales?
Solución
La pendiente \( m_{AB} \) de la recta que pasa por \( A \) y \( B \) está dada por
\( m_{AB} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{1 - 5}{1-(-1)} = - 2 \)
La pendiente \( m_{BC} \) de la recta que pasa por \( B \) y \( C \) está dada por
\( m_{BC} = \dfrac{y_C - y_B}{x_C-x_B} =\dfrac{-3 - 1}{3-1} = -2 \)
Por lo tanto \( m_{BC} = m_{AB} \) y por lo tanto los tres puntos son colineales
Ingresa las coordenadas de los tres puntos \( A \),\( B\) y \( C \) como números reales y presiona "Calcular".
Los resultados son: las pendientes \( m_{AB} \) y \( m_{BC} \) y la conclusión de si los tres puntos son colineales o no.
Usa la calculadora para encontrar las pendientes \( m_{AB} \), \( m_{BC} \) y verifica que los tres puntos sean colineales. Luego calcula las pendientes \( m_{AB} \), \( m_{BC} \) y \( m_{AC} \) analíticamente y verifica que todas sean iguales.
a)
\( A(-5,-2) \),
\( B(-2,1) \)
,
\( C(2,5) \).
b)
\( A(-5,7) \),
\( B(-1,-1) \)
,
\( C(1,-5) \).
c)
\( A(0,3) \),
\( B(2,2) \)
,
\( C(6,0) \).
