Entendiendo la Intersección de Rectas en 3D
En el espacio 3D, dos rectas pueden intersectarse (encontrarse en un solo punto), ser paralelas (sin intersección) o ser oblicuas (no paralelas y nunca se encuentran).
Presentamos una calculadora y un solucionador paso a paso para encontrar puntos de intersección de dos rectas en 3D si los hay.
Recta que pasa por dos puntos:
$$L_1: \vec{r_1}(t) = \langle x_A, y_A, z_A \rangle + t\,\langle x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A \rangle$$
$$L_2: \vec{r_2}(s) = \langle x_C, y_C, z_C \rangle + s\,\langle x_D-x_C, y_D-y_C, z_D-z_C \rangle$$
Forma paramétrica:
$$L_1: \begin{cases} x = x_1 + t\,a_1 \\ y = y_1 + t\,b_1 \\ z = z_1 + t\,c_1 \end{cases}$$
$$L_2: \begin{cases} x = x_2 + s\,a_2 \\ y = y_2 + s\,b_2 \\ z = z_2 + s\,c_2 \end{cases}$$
Para encontrar la intersección: Resolver el sistema:
$$\begin{cases}
x_A + t\,(x_B-x_A) = x_C + s\,(x_D-x_C) \\
y_A + t\,(y_B-y_A) = y_C + s\,(y_D-y_C) \\
z_A + t\,(z_B-z_A) = z_C + s\,(z_D-z_C)
\end{cases}$$
Importante: Resolver dos ecuaciones para t y s, luego verificar si satisfacen la tercera ecuación. Si la tercera ecuación se cumple, las rectas se intersectan. Si no, son oblicuas. Si los vectores directores son paralelos, las rectas son paralelas o coincidentes.