Calculadora de volumen y área de superficie del toroide

Se presenta una calculadora en línea para calcular el volumen y el área de superficie de un anillo toroidal.

Fórmulas para el volumen y el área de superficie

Un anillo toroide se genera girando un pequeño círculo de diámetro \( d \) a lo largo del perímetro de un círculo más grande. anillo toroidal

Figura 1. Anillo Toro

A continuación se muestran vistas de un toro cortado a lo largo del plano \( xy \; (z = 0) \) (a la derecha) y otro corte a lo largo del plano \( yz \; (x = 0) \) (a la izquierda).
\( r_1 \) es el radio interior y \( r_2 \) es el radio exterior del toro. corte toroidal a lo largo del eje vertical

corte toroidal a lo largo del eje vertical

Figura 2. Cortes del Anillo Toro

Un toro cortado y desarrollado en un cilindro de diámetro \( d \) y longitud \( 2 \pi R \) cilindro de corte toroidal

Figura 3. Anillo toroidal desarrollado como cilindro

Dejar
\( \quad r_2 = R + d/2 \) (I)
\( \quad r_1 = R - d/2 \) (II)
Suma las ecuaciones anteriores y simplifica para obtener
\( \quad r_2 + r_1 = 2 R \)
lo que da
\( \quad R = \dfrac{r_2 + r_1}{2} \)
Resta las dos ecuaciones (I) y (II) anteriores y simplifica para obtener
\( \quad r_2 - r_1 = d/2 + d/2 = d \)

El volumen \( V \) del toro se puede calcular como el volumen del cilindro en la figura 3. Por lo tanto
\( \quad V = \pi \left( \dfrac{d}{2} \right)^2 \times 2 \pi R \)

Sustituye \( d \) y \( R \) por sus expresiones en términos de \( r_1 \) y \( r_2 \) para obtener
\( \quad V = \pi \left( \dfrac{r_2 - r_1}{2} \right)^2 \times 2 \pi \left(\dfrac{r_2 + r_1}{2} \right) \) Simplifica para obtener la fórmula. \[ \Large \color{red}{V = \dfrac{1}{4} \pi^2 ( r_2 - r_1 )^2 (r_2 + r_1)} \]

Usando la figura 3 anterior, el área de la superficie lateral \( A_L \) del toro se puede calcular como el área de la superficie lateral del cilindro de la siguiente manera
\( \quad A_L = \pi d \times 2 \pi R \)
Sustituye \( d \) y \( R \) por sus expresiones en términos de \( r_1 \) y \( r_2 \) para obtener
\[ \Large \color{red}{A_L = \pi (r_2 - r_1)(r_2 + r_1)} \]

Cómo utilizar la calculadora

Ingrese los radios interno y externo del toro, \( r_1 \) y \( r_2 \) respectivamente, como números reales positivos, con \( r_2 > r_1 \) y presione "calcular". Las salidas son el volumen \( V \) y el área lateral \(A_L \) del toroide.

Resultados

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