Geometría del Toro
Un toro (anillo) se genera rotando un círculo pequeño de diámetro \( d \) a lo largo de un círculo más grande de radio \( R \) (distancia desde el centro del tubo hasta el centro del toro).
Del diagrama: \( r_2 = R + d/2 \), \( r_1 = R - d/2 \). Sumando se obtiene \( r_1 + r_2 = 2R \), restando se obtiene \( r_2 - r_1 = d \).
Imagina cortar el toro y desarrollarlo en un cilindro (Figura 3). El cilindro tiene diámetro \( d = r_2 - r_1 \) y longitud igual a la circunferencia del círculo grande: \( 2\pi R = \pi (r_1 + r_2) \).
Fórmula del Volumen
Volumen del cilindro = área de la base × altura = \( \pi (d/2)^2 \times (2\pi R) \). Sustituye \( d = r_2 - r_1 \) y \( R = (r_1+r_2)/2 \):
\[ V = \pi \left( \frac{r_2 - r_1}{2} \right)^2 \times 2\pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \frac{1}{4}\pi^2 (r_2 - r_1)^2 (r_1 + r_2) \]Área de Superficie Lateral
Área lateral del cilindro = circunferencia de la base × altura = \( (\pi d) \times (2\pi R) \). Sustituye \( d \) y \( R \):
\[ A_L = \pi (r_2 - r_1) \times \pi (r_1 + r_2) = \pi^2 (r_2 - r_1)(r_1 + r_2) \]
✅ Fórmulas finales utilizadas en la calculadora ✅
\( V = \frac{\pi^2}{4}(r_2-r_1)^2(r_1+r_2) \) | \( A_L = \pi^2 (r_2^2-r_1^2) \)