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Gr�fico de funciones racionales

C�mo graficar una funci�n racional? Un tutorial paso a paso. Las propiedades tales como dominio, as�ntotas verticales y horizontales de una funci�n racional son tambi�n investigados. Papel cuadriculado gratis est� disponible.

Definici�n

Una funci�n racional f tiene la forma

donde g (x) y h (x) son funciones polin�micas.

El dominio de f es el conjunto de todos los n�meros reales excepto los valores de x que hacen que el denominador h (x) a cero.

En lo que sigue, suponemos que g (x) y h (x) no tienen factores comunes.

As�ntotas verticales

Dejar

El dominio de f es el conjunto de todos los n�meros reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el denominador y la divisi�n por cero no est� permitido en las matem�ticas. Sin embargo, podemos tratar de averiguar c�mo la gr�fica de f se comporta cerca de 3.

Vamos a evaluar la funci�n f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla siguiente:

x	1	2	2,5	2,8	2,9	2,99	2,999	2,99999
f (x)	-1	-2	-4	-10	-20	-200	-2000	-2 * 10 ⁵

Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.

x	5	4	3,5	3,2	3,1	3,01	3,001	3,00001
f (x)	1	2.	4	10	20	200	2000	2 * 10 ⁵

La gr�fica de f se muestra a continuaci�n.

Notas

1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin l�mite.

2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin l�mite.

Decimos que la recta x = 3, l�nea quebrada, es la as�ntota vertical de la gr�fica de f.

En general, la l�nea x = a es una as�ntota vertical de la gr�fica de f si f (x) aumenta o disminuye sin l�mite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito como:

Horizontal as�ntotas

Dejar

1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).

x	1	10	10 ³	10 ⁶
f (x)	3	2.1	2,001	2,000001

2 - Sea x disminuci�n y encontrar los valores de f (x).

x	-1	-10	-10 ³	-10 ⁶
f (x)	1	1,9	1,999	1,999999

Como | x | aumenta, el numerador est� dominado por el t�rmino 2x y el numerador s�lo tiene un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. V�ase el comportamiento gr�fico de abajo.

En general, la recta y = b es una as�ntota horizontal para la gr�fica de f si f (x) se aproxima a una constante b como x aumenta o disminuye sin l�mite.

�C�mo encontrar la as�ntota horizontal?

Sea f una funci�n racional se define de la siguiente manera

Teorema

m es el grado del polinomio en el numerador y n es el grado del polinomio en el numerador.

Caso 1: Para m <n, la as�ntota horizontal es la recta y = 0.

case 2: Para m = n, la as�ntota horizontal es la recta y = a _m / b _n

Caso 3: Para m> n, no hay as�ntota horizontal.

Ejemplo 1: Sea f una funci�n racional definida por

a - Encontrar el dominio de f.

Encuentra la x , y intercepta de la gr�fica de f.

c - Encuentre las as�ntotas vertical y horizontal para la gr�fica de f si los hay.

d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la gr�fica de la funci�n f.

Respuesta a la Ejemplo 1

a - El dominio de f es el conjunto de todos los n�meros reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador.

b - La x intercepte se encuentra por la soluci�n de f (x) = 0 � x +1 = 0. x La intersecci�n est� en el punto (-1, 0).

La intersecci�n est� en el punto (0, f (0)) = (0, -1).

c - La as�ntota vertical est� dada por el cero en el denominador x = 1.

El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la as�ntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1

e - Aunque las partes a, b y c dan informaci�n importante sobre la gr�fica de f, todav�a tenemos que construir una tabla de se�al para la funci�n f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad.

El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la soluci�n de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la l�nea n�mero real en 3 intervalos:

(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).

Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).

En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.

En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 <0.

En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.

Vamos a poner toda la informaci�n acerca de f en una tabla.

x	- Inf	-1		1	+ Inf
f (x)	+	0 x-intercepta	--	AV	+

En el cuadro anterior significa VA as�ntota vertical.

Para dibujar la gr�fica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las as�ntotas verticales y horizontales en las l�neas rotas. V�ase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la gr�fica de f a partir de la izquierda.

En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gr�fico est� por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una as�ntota horizontal: la gr�fica de f est� cerca de la l�nea de la izquierda. V�ase el croquis.

Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gr�fica de f est� por debajo del eje x. (0, -1 intersecci�n) es ay y x = 1 es una as�ntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin l�mite porque f (x) <0 en (-1, 1). V�ase el croquis.

Para x> 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gr�fico est� por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gr�fica de f aumenta sin l�mite (f (x)> 0). Tambi�n a medida que aumenta x, la gr�fica de f enfoques y = 1, la as�ntota horizontal. V�ase el croquis.