Definición
Una función racional f tiene la forma
donde g (x) y h (x) son funciones polinómicas.
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los valores de x que hacen que el denominador h (x) a cero.
En lo que sigue, suponemos que g (x) y h (x) no tienen factores comunes.
Asíntotas verticales
Dejar
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el denominador y la división por cero no está permitido en las matemáticas. Sin embargo, podemos tratar de averiguar cómo la gráfica de f se comporta cerca de 3.
Vamos a evaluar la función f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla siguiente:
| x |
1 |
2 |
2,5 |
2,8 |
2,9 |
2,99 |
2,999 |
2,99999 |
| f (x) |
-1 |
-2 |
-4 |
-10 |
-20 |
-200 |
-2000 |
-2 * 10 5 |
Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.
| x |
5 |
4 |
3,5 |
3,2 |
3,1 |
3,01 |
3,001 |
3,00001 |
| f (x) |
1 |
2. |
4 |
10 |
20 |
200 |
2000 |
2 * 10 5 |
La gráfica de f se muestra a continuación.
Notas
1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin límite.
2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin límite.
Decimos que la recta x = 3, línea quebrada, es la asíntota vertical de la gráfica de f.
En general, la línea x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f si f (x) aumenta o disminuye sin límite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito como:
Horizontal asíntotas
Dejar
1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).
| x |
1 |
10 |
10 3 |
10 6 |
| f (x) |
3 |
2.1 |
2,001 |
2,000001 |
2 - Sea x disminución y encontrar los valores de f (x).
| x |
-1 |
-10 |
-10 3 |
-10 6 |
| f (x) |
1 |
1,9 |
1,999 |
1,999999 |
Como | x | aumenta, el numerador está dominado por el término 2x y el numerador sólo tiene un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Véase el comportamiento gráfico de abajo.
En general, la recta y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de f si f (x) se aproxima a una constante b como x aumenta o disminuye sin límite.
¿Cómo encontrar la asíntota horizontal?
Sea f una función racional se define de la siguiente manera
Teorema
m es el grado del polinomio en el numerador y n es el grado del polinomio en el numerador.
Caso 1: Para m <n, la asíntota horizontal es la recta y = 0.
case 2: Para m = n, la asíntota horizontal es la recta y = a m / b n
Caso 3: Para m> n, no hay asíntota horizontal.
Ejemplo 1: Sea f una función racional definida por
a - Encontrar el dominio de f.
Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.
c - Encuentre las asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los hay.
d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la gráfica de la función f.
Respuesta a la Ejemplo 1
a - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador.
b - La x intercepte se encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1, 0).
La intersección está en el punto (0, f (0)) = (0, -1).
c - La asíntota vertical está dada por el cero en el denominador x = 1.
El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1
e - Aunque las partes a, b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad.
El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la línea número real en 3 intervalos:
(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).
Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).
En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.
En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 <0.
En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.
Vamos a poner toda la información acerca de f en una tabla.
| x |
- Inf
|
-1 |
|
1 |
+ Inf
|
| f (x) |
+ |
0 x-intercepta
|
-- |
AV |
+ |
En el cuadro anterior significa VA asíntota vertical.
Para dibujar la gráfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las líneas rotas. Véase el croquis.
Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a partir de la izquierda.
En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.
Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x = 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin límite porque f (x) <0 en (-1, 1). Véase el croquis.
Para x> 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)> 0). También a medida que aumenta x, la gráfica de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.
Ahora ponemos todas las "piezas" de la gráfica de f en conjunto para obtener la gráfica de f.
Igualados Problema: Sea f una función racional definida por
f (x) = (-x + 2) / (x + 4)
a - Encontrar el dominio de f.
Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.
c - Encuentre las asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los hay.
d - Utiliza tus respuestas a las partes A, B y C por encima de para trazar la gráfica de la función f.
Más referencias sobre gráficos y funciones racionales.
Funciones gráficas
Funciones Racionales - Applet
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