En este tutorial se presenta, paso a paso, cómo graficar y esbozar funciones seno de la forma
\[ f(x) = a \sin(bx + c) \]También se analizan en detalle propiedades como el dominio, el rango y las intersecciones de estas funciones.
Una vez que completes este tutorial, puedes realizar una autoevaluación sobre gráficas trigonométricas. También tienes disponible papel milimetrado gratuito.
Comenzamos con la gráfica de la función seno básica
\[ f(x) = \sin(x) \]El dominio de la función \( f \) es el conjunto de todos los números reales. El rango de \( f \) es el intervalo \( [-1,1] \).
\[ -1 \le \sin(x) \le 1 \]Además, la función \( f(x) = \sin(x) \) es periódica, con período igual a \( 2\pi \).
La gráfica de \( f \) en un período puede dibujarse encontrando primero puntos clave como intersecciones con los ejes, máximos y mínimos.
Construyamos una tabla de valores de \( f \) en el intervalo de un período: \( [0, 2\pi] \).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline f(x) & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} \]Los valores elegidos de \( x \) corresponden a intersecciones, máximos y mínimos. Estos puntos son suficientes para graficar la función seno en un período.
Para graficar \( f \), se representan los puntos de la tabla y luego se unen con una curva suave. Los cinco puntos clave dividen el período en cuatro partes iguales.
Para comprender completamente por qué la gráfica de \( \sin(x) \) cambia con \( x \), puedes consultar un tutorial interactivo sobre el círculo unitario trigonométrico.
Ahora analizamos cómo los parámetros \( a \), \( b \) y \( c \) afectan la gráfica de \( f(x) = a\sin(bx + c) \) en comparación con \( \sin(x) \).
El dominio de \( f \) es el conjunto de todos los números reales. Como \( \sin(bx + c) \) siempre toma valores entre −1 y 1, se cumple:
\[ -1 \le \sin(bx + c) \le 1 \]Multiplicando por \( a \):
Si \( a > 0 \):
\[ -a \le a\sin(bx + c) \le a \]Si \( a < 0 \):
\[ a \le a\sin(bx + c) \le -a \]Por lo tanto, el rango de \( f \) es:
\[ [-|a|, |a|] \]El valor \( |a| \) se llama la amplitud de la función.
Si \( c = 0 \), entonces \( f(x) = a\sin(bx) \). Para completar un período, la expresión \( bx \) debe variar de \( 0 \) a \( 2\pi \).
\[ 0 \le bx \le 2\pi \]Dividiendo entre \( b \), se obtiene que el período es:
\[ \text{Período} = \dfrac{2\pi}{|b|} \]Cuando se considera la expresión completa \( bx + c \), el intervalo de un período se desplaza.
El desplazamiento de fase es:
\[ \dfrac{-c}{b} \]Si es negativo, el desplazamiento es hacia la izquierda; si es positivo, es hacia la derecha.
Sea la función
\[ f(x) = 2\sin(3x - \pi/2) \]
a) Determina el dominio y el rango de \( f \).
b) Encuentra el período y el desplazamiento de fase.
c) Esboza la gráfica de la función en un período.
El dominio es el conjunto de todos los números reales. El rango es \( [-2, 2] \).
El período es:
\[ \dfrac{2\pi}{3} \]El desplazamiento de fase es:
\[ \dfrac{\pi}{6} \]La gráfica se obtiene calculando los cinco puntos clave y trazando una curva suave.
a) Determina el dominio y el rango.
b) Calcula el período y el desplazamiento de fase.
c) Esboza la gráfica en un período.