Un tutorial paso a paso para graficar y representar funciones arccos(x). También se analizan el dominio, el rango y otras propiedades importantes de estas funciones.
A continuación, \( \arccos(x) \) es la función inversa de \( f(x) = \cos(x) \; \text{para} \; 0 \le x \le \pi \).
El dominio de \( y = \arccos(x) \) es el rango de \( f(x) = \cos(x) \; \text{para} \; 0 \le x \le \pi \), y está dado por el intervalo \( [-1 , 1] \).
El rango de \( \arccos(x) \) es el dominio de \( f \), el cual está dado por el intervalo \( [0 , \pi] \).
A continuación se muestran la gráfica, el dominio y el rango de \( f(x) = \cos(x) \; \text{para} \; 0 \le x \le \pi \) y de su inversa \( \arccos(x) \).
Observa que existen 3 puntos clave que pueden utilizarse para graficar \( \arccos(x) \). Estos puntos son: \[ (-1 , \pi), \; (0 , \dfrac{\pi}{2}), \; \text{y} \; (1,0) \]
Encuentra el dominio y el rango de \( y = \arccos(x - 1) \) y grafica la función.
La gráfica de \( y = \arccos(x - 1) \) es la de \( \arccos(x) \) desplazada una unidad hacia la derecha.
El dominio se obtiene estableciendo que: \[ -1 \le x - 1 \le 1 \]
Al resolver la desigualdad doble se obtiene: \[ 0 \le x \le 2 \]
Los 3 puntos clave de \( \arccos(x) \) también pueden utilizarse de la siguiente manera:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x - 1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y = \arccos(x - 1) & \pi & \frac{\pi}{2} & 0 \\ \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array} \]El valor de \( x \) se calcula a partir del valor de \( x - 1 \). Por ejemplo, cuando \( x - 1 = -1 \), se obtiene \( x = 0 \).
El dominio es \( [0,2] \) y el rango es \( [0,\pi] \).
Estos tres puntos se utilizan para graficar \( y = \arccos(x - 1) \).
Encuentra el dominio y el rango de \[ y = 2\arccos(x + 1) \] y grafica la función.
Usamos los 3 puntos clave de la tabla y calculamos los valores correspondientes de \( y = 2\arccos(x + 1) \) y de \( x \).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x + 1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \arccos(x + 1) & \pi & \frac{\pi}{2} & 0 \\ \hline y = 2\arccos(x + 1) & 2\pi & \pi & 0 \\ \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} \]Dominio: \[ [-2,0] \]
Rango: \[ [0 , 2\pi] \]
La gráfica corresponde a \( \arccos(x) \) desplazada una unidad a la izquierda y estirada verticalmente por un factor de 2.
Encuentra el dominio y el rango de \[ y = -\arccos(x - 1) \] y grafica la función.
Utilizamos los 3 puntos clave y calculamos los valores de \( y = -\arccos(x - 1) \) y de \( x \).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x - 1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \arccos(x - 1) & \pi & \dfrac{\pi}{2} & 0 \\ \hline y = -\arccos(x - 1) & -\pi & -\dfrac{\pi}{2} & 0 \\ \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array} \]Dominio: \[ [0 , 2] \]
Rango: \[ [-\pi , 0] \]
La gráfica es la de \( \arccos(x) \) desplazada una unidad a la derecha y reflejada respecto del eje x.