Tutorial paso a paso para graficar y trazar funciones arcsin, donde también se analizan el dominio, el rango y otras propiedades importantes de estas funciones.
A continuación, \( \arcsin(x) \) es la función inversa de \( f(x) = \sin(x) \) para \( -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} \).
El dominio de \( y = \arcsin(x) \) es el rango de \( f(x) = \sin(x) \) en el intervalo \( -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \), y está dado por \([-1, 1]\).
El rango de \( \arcsin(x) \) es el dominio de \( f \), el cual está dado por el intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).
A continuación se muestran la gráfica, el dominio y el rango de \( f(x) = \sin(x) \) para \( -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) y de \( \arcsin(x) \).
Una tabla de valores de \( \arcsin(x) \) se puede construir de la siguiente manera:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y = \arcsin(x) & -\frac{\pi}{2} & 0 & \frac{\pi}{2} \\ \hline \end{array} \]Observa que existen 3 puntos clave que pueden utilizarse para graficar \( \arcsin(x) \): \((-1,-\frac{\pi}{2})\), \((0,0)\) y \((1,\frac{\pi}{2})\).
Encuentra el dominio, el rango y grafica la función: \[ y = \arcsin(x - 2) \]
La gráfica de \( y = \arcsin(x - 2) \) es la de \( \arcsin(x) \) desplazada 2 unidades hacia la derecha. El dominio se obtiene imponiendo: \[ -1 \leq x - 2 \leq 1 \] Al resolver la desigualdad doble, se obtiene: \[ 1 \leq x \leq 3 \]
Los 3 puntos clave de \( \arcsin(x) \) también pueden utilizarse aquí:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x - 2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y = \arcsin(x - 2) & -\frac{\pi}{2} & 0 & \frac{\pi}{2} \\ \hline x & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array} \]El valor de \( x \) se obtiene a partir de \( x - 2 \). Por ejemplo, cuando \( x - 2 = -1 \), se obtiene \( x = 1 \), y así sucesivamente.
El dominio es \([1, 3]\) y el rango es \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\).
Estos tres puntos se utilizan para graficar \( y = \arcsin(x - 2) \).
Encuentra el dominio, el rango y grafica la función: \[ y = 2\arcsin(x + 1) \]
Solución del Ejemplo 2Utilizamos los 3 puntos clave y calculamos los valores correspondientes:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x + 1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \arcsin(x + 1) & -\frac{\pi}{2} & 0 & \frac{\pi}{2} \\ \hline y = 2\arcsin(x + 1) & -\pi & 0 & \pi \\ \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} \]
Dominio: \([-2, 0]\)
Rango: \([-\pi, \pi]\)
La gráfica corresponde a \( \arcsin(x) \) desplazada una unidad a la izquierda y estirada verticalmente por un factor de 2.
Encuentra el dominio, el rango y grafica la función: \[ y = -\arcsin(x - 1) \]
Utilizamos los 3 puntos clave y calculamos los valores:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x - 1 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \arcsin(x - 1) & -\frac{\pi}{2} & 0 & \frac{\pi}{2} \\ \hline y = -\arcsin(x - 1) & \frac{\pi}{2} & 0 & -\frac{\pi}{2} \\ \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array} \]
Dominio: \([0, 2]\)
Rango: \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
La gráfica es la de \( \arcsin(x) \) desplazada una unidad a la derecha y reflejada respecto al eje \(x\).