Cómo Graficar Funciones Cúbicas
Un tutorial paso a paso para aprender cómo determinar las propiedades de la gráfica de funciones cúbicas y cómo representarlas gráficamente. Propiedades como el dominio, el rango, los interceptos en x e y, los ceros y la factorización se utilizan para graficar este tipo de funciones.
Papel cuadriculado gratuito está disponible.
Propiedades de las Funciones Cúbicas
Las funciones cúbicas tienen la forma
\[
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
\]
donde \( a, b, c \) y \( d \) son números reales y \( a \neq 0 \).
El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
El rango de esta función también es el conjunto de todos los números reales.
El intercepto en \( y \) de la gráfica de \( f \) está dado por
\( y = f(0) = d \).
Los interceptos en \( x \) se obtienen resolviendo la ecuación
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]
El comportamiento de la gráfica de una función cúbica es el siguiente:
Si el coeficiente principal \( a \) es positivo, entonces cuando \( x \) aumenta, \( f(x) \) aumenta (la gráfica sube) y cuando \( x \) disminuye indefinidamente, \( f(x) \) disminuye (la gráfica baja).
Si el coeficiente principal \( a \) es negativo, entonces cuando \( x \) aumenta, \( f(x) \) disminuye (la gráfica baja) y cuando \( x \) disminuye indefinidamente, \( f(x) \) aumenta (la gráfica sube).
Ejemplo 1
\( f \) es una función cúbica dada por
\[
f(x) = x^3
\]
- Encuentra los interceptos en x e y de la gráfica de \( f \).
- Encuentra el dominio y el rango de \( f \).
- Esboza la gráfica de \( f \).
Solución del Ejemplo 1
-
a - El intercepto en \( y \) está dado por
\[
(0, f(0)) = (0, 0)
\]
-
Los valores de \( x \) donde hay interceptos en \( x \) se obtienen resolviendo
\[
x^3 = 0
\]
-
El intercepto en \( x \) está en el punto \( (0, 0) \).
-
b - El dominio de \( f \) es el conjunto de todos los números reales.
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Como el coeficiente principal de \( x^3 \) es positivo, la gráfica sube a la derecha y baja a la izquierda. Por lo tanto, el rango de \( f \) es el conjunto de todos los números reales.
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c - Construimos una tabla de valores y graficamos.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{x} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
\mathbf{f(x)=x^3} & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]
Observa que, como
\( f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \),
la función \( f \) es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen \( (0,0) \).
Ejemplo 2
\( f \) es una función cúbica dada por
\[
f(x) = -(x - 2)^3
\]
- Encuentra el intercepto en \( y \).
- Encuentra todos los ceros de \( f \) y su multiplicidad.
- Encuentra el dominio y el rango de \( f \).
- Usa estas propiedades para esbozar la gráfica.
Solución del Ejemplo 2
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a - El intercepto en \( y \) es
\[
(0, f(0)) = (0, 8)
\]
-
b - Los ceros de \( f \) se obtienen resolviendo
\[
-(x - 2)^3 = 0
\]
-
La función tiene un cero en \( x = 2 \) con multiplicidad 3, por lo que la gráfica corta el eje \( x \) en ese punto.
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c - El dominio de \( f \) es el conjunto de todos los números reales.
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Al expandir,
\[
f(x) = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8
\]
El coeficiente principal es negativo, por lo que la gráfica baja a la derecha y sube a la izquierda. El rango es todo \( \mathbb{R} \).
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d - La gráfica se obtiene desplazando \( y=x^3 \) dos unidades a la derecha y reflejándola respecto al eje \( x \).
Más Referencias y Enlaces
Graficación de Funciones