Graficar Polinomios
Aprende a graficar polinomios mediante un tutorial paso a paso con ejemplos y soluciones detalladas. Se utilizan la factorización, los ceros y sus multiplicidades, las intersecciones y otras propiedades para graficar polinomios.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
a) Factoriza el polinomio \( P \) dado por
\[
P (x) = - x^3 - x^2 + 2x
\]
b) Determina la multiplicidad de cada cero de \( P \).
c) Determina la tabla de signos de \( P \).
d) Grafica el polinomio \( P \) y señala las intersecciones con los ejes \( x \) e \( y \).
Solución del Ejemplo 1
-
a) Factorizamos \( P \) de la siguiente manera:
\[
P(x) = -x^3 - x^2 + 2x
\]
\[
= -x(x^2 + x - 2)
\]
\[
= -x(x + 2)(x - 1)
\]
-
b) \( P \) tiene tres ceros: \( -2 \), \( 0 \) y \( 1 \), todos con multiplicidad uno.
-
c) Los tres ceros de \( P \) dividen la recta numérica en cuatro intervalos:
\[
(-\infty, -2), \quad (-2, 0), \quad (0, 1), \quad (1, +\infty)
\]
Seleccionamos un valor de \( x \) en cada intervalo y evaluamos \( P \) para determinar su signo.
\[
P(-3) = 12 > 0, \quad
P(-1) = -2 < 0, \quad
P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{8} > 0, \quad
P(2) = -8 < 0
\]
Usando estos signos, la tabla de signos es la siguiente:
Ejemplo 2
a) Factoriza el polinomio \( P \):
\[
P (x) = x^4 - 2 x^2 + 1
\]
b) ¿Cuál es la multiplicidad de cada cero de \( P \)?
c) Determina la tabla de signos de \( P \).
d) Grafica \( P \) y señala las intersecciones con los ejes.
e) Determina el rango del polinomio \( P \).
Solución del Ejemplo 2
- a) Factorizamos \( P \):
\[
P(x) = x^4 - 2x^2 + 1
\]
\[
= (x^2 - 1)^2
\]
\[
= (x - 1)^2(x + 1)^2
\]
- b) \( P \) tiene ceros en \( x = 1 \) y \( x = -1 \), ambos con multiplicidad 2.
- c) Como \( P(x) \) es un cuadrado perfecto, es no negativo para todo \( x \). Es cero en \( x = -1 \) y \( x = 1 \), y positivo en el resto. La tabla de signos es:
- d) Las intersecciones con el eje \( x \) son \( (-1,0) \) y \( (1,0) \), y con el eje \( y \) es \( (0,1) \). La gráfica toca el eje \( x \) en \( x=-1 \) y \( x=1 \) y se abre hacia arriba.
- e) El rango de \( P \) es:
\[
[0, +\infty)
\]
Ejemplo 3
a) Demuestra que \( x = -3 \) es un cero de \( P \):
\[
P (x) = x^4 + 5 x^3 + 5 x^2 - 5 x - 6
\]
b) Demuestra que \( (x - 1) \) es un factor de \( P \).
c) Factoriza \( P \) y determina la multiplicidad de cada cero.
d) Determina la tabla de signos.
e) Grafica \( P \) y señala las intersecciones.
Solución del Ejemplo 3
- a)
\[
P(-3) = (-3)^4 + 5(-3)^3 + 5(-3)^2 - 5(-3) - 6 = 0
\]
Por lo tanto, \( -3 \) es un cero de \( P \).
- b) Al dividir sucesivamente se obtiene:
\[
P(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)(x + 2)
\]
- c) Los ceros son \( -3, -2, -1, 1 \), todos con multiplicidad uno.
- d) La tabla de signos es:
- e) La gráfica es:
Ejemplo 4
\( x = 1 \) es un cero de multiplicidad \( 2 \) del polinomio
\[
P (x) = x^5 + x^4 - 3 x^3 - x^2 + 2 x
\]
Construye la tabla de signos y grafícalo.
Solución del Ejemplo 4
\[
P(x) = x(x - 1)^2(x + 1)(x + 2)
\]
- Los ceros son \( -2, -1, 0, 1 \), y \( x=1 \) tiene multiplicidad 2.
Más Referencias y Enlaces sobre Gráficas
Graficar funciones