Un tutorial paso a paso sobre cómo graficar y dibujar funciones tangente. Se analizan el gráfico, dominio, rango, asíntotas verticales y otras propiedades de estas funciones.
1 - El dominio de \( \tan(x) \) es el conjunto de todos los números reales, excepto en \( x = \dfrac{\pi}{2} + n \times \pi \), donde \( n \) es cualquier número entero.
2 - El rango de \( \tan(x) \) es el conjunto de todos los números reales.
3 - Las asíntotas verticales del gráfico de \( \tan(x) \) se encuentran en \( x = \dfrac{\pi}{2} + n \times \pi \), donde \( n \) es cualquier número entero.
4 - El período de \( \tan(x) \) es igual a \( \pi \).
La función \( \tan x \) no está definida para los valores \( x = \frac{\pi}{2} \) y \( x = -\frac{\pi}{2} \). Sin embargo, debemos entender el comportamiento del gráfico de \( \tan x \) cuando \( x \) se aproxima a \( \frac{\pi}{2} \) y \( -\frac{\pi}{2} \).
Observemos los valores de \( \tan x \) para \( x \) cercano a \( \frac{\pi}{2} \) desde la izquierda:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{x} & \frac{\pi}{2} - 0.5 & \frac{\pi}{2} - 0.1 & \frac{\pi}{2} - 0.01 & \frac{\pi}{2} - 0.001 & \frac{\pi}{2} \\ \hline \textbf{tan}\,x & 1.8 & 10.0 & 100.0 & 1000.0 & \text{indefinido} \\ \hline \end{array} \]Observamos que al acercarse \( x \) a \( \frac{\pi}{2} \) desde valores menores, \( \tan(x) \) aumenta indefinidamente. Decimos que el gráfico de \( \tan(x) \) tiene una asíntota vertical en \( x = \frac{\pi}{2} \), representada por una línea roja discontinua vertical.
Ahora veamos los valores de \( \tan x \) para \( x \) cercano a \( -\frac{\pi}{2} \) desde la derecha:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{x} & -\frac{\pi}{2} + 0.5 & -\frac{\pi}{2} + 0.1 & -\frac{\pi}{2} + 0.01 & -\frac{\pi}{2} + 0.001 & -\frac{\pi}{2} \\ \hline \tan x & -1.8 & -10.0 & -100.0 & -1000.0 & \text{indefinido} \\ \hline \end{array} \]Observamos que al acercarse \( x \) a \( -\frac{\pi}{2} \) desde valores mayores, \( \tan x \) disminuye indefinidamente. El gráfico tiene una asíntota vertical en \( x = -\frac{\pi}{2} \), representada por una línea roja discontinua vertical.
La función \( \tan x \) tiene un comportamiento asintótico cercano a \( \frac{\pi}{2} \) y \( -\frac{\pi}{2} \). Usando los valores anteriores y: \( \tan 0 = 0 \), \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \), y \( \tan -\frac{\pi}{4} = -1 \), podemos trazar los puntos \( (0,0) \), \( (\frac{\pi}{4},1) \), \( (-\frac{\pi}{4},-1) \) y las asíntotas verticales.
Luego dibujamos una curva suave que pase por los puntos calculados. Cerca de las asíntotas verticales, el gráfico sube indefinidamente (cerca de \( x = \frac{\pi}{2} \)) o baja indefinidamente (cerca de \( x = -\frac{\pi}{2} \)).
Resumen de cómo graficar \( \tan x \):
Paso 1: Hacer una tabla de valores para un período.
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{4} & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} \\ \hline \tan x & \text{AV} & -1.0 & 0.0 & 1.0 & \text{AV} \\ \hline \end{array} \]Paso 2: Graficar los puntos y las asíntotas verticales.
Paso 3: Dibujar una curva que pase por todos los puntos y suba o baje verticalmente cerca de las asíntotas.
Graficar \( f(x) = 2 \tan(2x - \frac{\pi}{4}) \) en un período.
Sea \( t = 2x - \frac{\pi}{4} \). Hagamos una tabla usando \( t \) sobre un período \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{t} & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{4} & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} \\ \hline 2 \tan t & \text{AV} & -2.0 & 0.0 & 2.0 & \text{AV} \\ \hline \end{array} \]Relacionamos \( x \) con \( t \) usando \( t = 2x - \frac{\pi}{4} \): \[ x = \frac{t}{2} + \frac{\pi}{8} \]
Así obtenemos los valores de \( x \) correspondientes a los valores de \( t \) de la tabla:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline t & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{4} & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} \\ \hline 2 \tan t & \text{AV} & -2.0 & 0.0 & 2.0 & \text{AV} \\ \hline x & -\frac{\pi}{8} & 0 & \frac{\pi}{8} & \frac{2\pi}{8} & \frac{3\pi}{8} \\ \hline \end{array} \]
Graficar \( f(x) = -\tan(x + \frac{\pi}{2}) \) en un período.
Sea \( t = x + \frac{\pi}{2} \). Primero hacemos una tabla con \( t \):
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline t & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{4} & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} \\ \hline -\tan t & \text{AV} & 1.0 & 0.0 & -1.0 & \text{AV} \\ \hline \end{array} \]Resolviendo \( t = x + \frac{\pi}{2} \): \[ x = t - \frac{\pi}{2} \]
Se agrega la fila de \( x \) a la tabla:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline t & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{4} & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} \\ \hline -\tan t & \text{AV} & 1.0 & 0.0 & -1.0 & \text{AV} \\ \hline x & -\pi & -\frac{3\pi}{4} & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{4} & 0 \\ \hline \end{array} \]
