Gráfica de funciones definidas por tramos

Este tutorial explica cómo graficar funciones definidas por tramos paso a paso. Analizamos sus gráficas, dominios, rangos y propiedades principales. También puedes usar papel milimetrado gratuito para dibujar las gráficas a mano.

Definición de una función definida por tramos

Una función definida por tramos es una función que está definida por diferentes fórmulas en distintos intervalos de su dominio.

Ejemplo 1

\[ f(x) = \begin{cases} -x, & x \le 2 \\ x, & x > 2 \end{cases} \]

El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales, ya que hay una fórmula definida para cada valor de \(x\).

Ejemplo 2

\[ f(x) = \begin{cases} 2, & x > -3 \\ -5, & x < -3 \end{cases} \]

Esta es una función constante definida por tramos. El dominio son todos los números reales excepto \(x = -3\).

Ejemplo 3

\[ f(x) = |x| \]

Usando la definición del valor absoluto:

\[ f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]

El dominio es el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo 4

\[ f(x) = |x + 6| \] \[ f(x) = \begin{cases} x + 6, & x \ge -6 \\ -(x + 6), & x < -6 \end{cases} \]

Esta función está definida para todos los números reales.

Ejemplo 5

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 3, & x \le -10 \\ -2x + 1, & -10 < x \le -2 \\ -x^3, & 2 < x < 4 \\ \ln x, & x > 4 \end{cases} \]

La función está no definida en el intervalo \((-2, 2]\) y en \(x = 4\).

Ejemplo 6

\[ f(x) = \begin{cases} -1, & x \le -2 \\ 2, & x > -2 \end{cases} \]

Solución

El dominio es el conjunto de todos los números reales. El rango es: \[ \{-1,\, 2\} \]

Gráfica de la función definida por tramos del Ejemplo 6

Ejemplo 7

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 2 \\ -x + 3, & x \ge 2 \end{cases} \]

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es: \[ (-\infty, +\infty) \]

Gráfica de la función definida por tramos del Ejemplo 7

Ejemplo 8

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 0 \\ e^{-x}, & x \ge 0 \end{cases} \]

La asíntota horizontal es \(y = 0\).

Gráfica de la función definida por tramos del Ejemplo 8

Ejemplo 9

\[ f(x) = \begin{cases} -1, & x \le -1 \\ 1, & -1 < x \le 1 \\ x, & x > 1 \end{cases} \]

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es: \[ \{-1\} \cup [1, +\infty) \]

Gráfica de la función definida por tramos del Ejemplo 9

Más referencias: Gráfica de funciones