Se presentan en este tutorial problemas con soluciones detalladas sobre la graficación de la ecuación de la hipérbola.
Una hipérbola con centro en el origen \( (0,0) \) es la gráfica de
\[ \Large{\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (I) \quad \text{o} \quad \dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1 \quad (II) } \]La gráfica de la ecuación (I) tiene las siguientes propiedades: intersecciones en x en \( \pm a \), sin intersecciones en y, focos en \( (-c, 0) \) y \( (c, 0) \), asíntotas con ecuaciones \( y = \pm \dfrac{b}{a}x \).
La gráfica de la ecuación (II) tiene las siguientes propiedades: intersecciones en y en \( \pm a \), sin intersecciones en x, focos en \( (0, -c) \) y \( (0, c) \), asíntotas con ecuaciones \( y = \pm \dfrac{a}{b}x \).
\( a \), \( b \) y \( c \) están relacionados por \[ c^2 = a^2 + b^2 \].
La longitud del eje transverso es \( 2a \), y la longitud del eje conjugado es \( 2b \).
Aplicando las pruebas de simetría para gráficas de ecuaciones en dos variables, las hipérbolas dadas por las ecuaciones anteriores son simétricas con respecto al eje x, al eje y y al origen.
En este sitio se puede encontrar un tutorial sobre la definición y propiedades de las hipérbolas.
Dada la siguiente ecuación:
\[ 9x^2 - 16y^2 = 144 \]a) Encuentre las intersecciones en x y en y, si es posible, de la gráfica de la ecuación.
b) Encuentre las coordenadas de los focos.
c) Trace la gráfica de la ecuación.
a) Primero escribimos la ecuación dada en forma estándar dividiendo ambos lados de la ecuación por 144
\[ \frac{9x^2}{144} - \frac{16y^2}{144} = 1 \] \[ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \] \[ \frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1 \]Ahora comparamos la ecuación obtenida con la ecuación estándar (I) en el repaso anterior y podemos decir que la ecuación dada es la de una hipérbola con \( a = 4 \) y \( b = 3 \).
Establezca \( y = 0 \) en la ecuación obtenida y encuentre las intersecciones en x.
\[ \frac{x^2}{4^2} = 1 \]Resuelva para x.
\[ x^2 = 4^2 \] \[ x = \pm 4 \]Establezca \( x = 0 \) en la ecuación obtenida y encuentre las intersecciones en y.
\[ \frac{y^2}{3^2} = -1 \]NO hay intersecciones en y ya que la ecuación anterior no tiene soluciones reales.
b) Necesitamos encontrar \( c \) primero (vea la fórmula anterior).
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]\( a \) y \( b \) se encontraron en la parte a), por lo tanto: \[ c^2 = 4^2 + 3^2 \] \[ c^2 = 25 \]
Resuelva para \( c \).
\[ c = \pm 5 \]Los focos son \( F_1 = (5, 0) \) y \( F_2 = (-5, 0) \).
c)
1 - Encuentre las asíntotas \( y = -\frac{b}{a}x \) y \( y = \frac{b}{a}x \) y trácela.
\[ y = -\frac{3}{4}x \quad \text{y} \quad y = \frac{3}{4}x \]2 - Trace las intersecciones en x
3 - Encuentre puntos adicionales (si es necesario)
Establezca \( x = 6 \) y encuentre y
\[ 9(6)^2 - 16y^2 = 144 \] \[ -16y^2 = 144 - 324 \] \[ y^2 = \frac{45}{4} \]Resuelva para y
\[ y = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2} \]Por lo tanto, los puntos \( (6, \frac{3\sqrt{5}}{2}) \) y \( (6, -\frac{3\sqrt{5}}{2}) \) están en la gráfica de la hipérbola.
Además, debido a la simetría de la gráfica de la hipérbola, los puntos \( (-6, \frac{3\sqrt{5}}{2}) \) y \( (-6, -\frac{3\sqrt{5}}{2}) \) también están en la gráfica de la hipérbola.
\[ x^2 - y^2 = 9 \]
a) Encuentre las intersecciones en x y en y, si es posible, de la gráfica de la ecuación.
b) Encuentre las coordenadas de los focos.
c) Trace la gráfica de la ecuación.