Aprende cómo resolver desigualdades polinómicas y racionales con este tutorial paso a paso. Esta guía incluye explicaciones claras y problemas de ejemplo detallados para ayudar a los estudiantes a dominar las técnicas para analizar expresiones de desigualdad.
Resuelve la desigualdad.
\[ 2 - \dfrac{7 x}{5} \gt -x + 3 \]Multiplica ambos lados por 5: \[ 10 - 7x > -5x + 15 \] Mueve todos los términos con x a un lado: \[ 10 > 2x + 15 \] Resta 15 de ambos lados: \[ -5 > 2x \] Divide por 2: \[ -\frac{5}{2} > x \quad \Rightarrow \quad x < -\frac{5}{2} \]
Respuesta final (forma de intervalo):
\[ (-\infty,\ -\frac{5}{2}) \]
Resuelve la desigualdad polinómica.
\[ -4 x^2 \gt 4 x - 8 \]Mueve todos los términos a un lado:
\[ -4x^2 - 4x + 8 > 0 \]Multiplica ambos lados por -1 (invirtiendo la desigualdad):
\[ 4x^2 + 4x - 8 < 0 \]Resuelve la ecuación:
\[ x^2 + x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 2)(x - 1) = 0 \]Analiza el signo de \((x + 2)(x - 1)\):
Encuentra donde la expresión es cero:
Estos son los puntos críticos que dividen la recta numérica en intervalos:
Prueba el signo en cada intervalo:
Evalúa en los puntos críticos:
Conclusión: La expresión es:
Queremos que la expresión sea menor que 0, por lo tanto la solución es:
Respuesta: \[ (-2,\ 1) \]
Resuelve la desigualdad racional.
\[ \dfrac{1}{x+4} - \dfrac{2}{x-3} \ge 0 \]Obtén el denominador común:
\[ \frac{(x - 3) - 2(x + 4)}{(x + 4)(x - 3)} \ge 0 \]Simplifica el numerador:
\[ \frac{-x - 11}{(x + 4)(x - 3)} \ge 0 \]Multiplica el numerador y el denominador por -1 (invirtiendo la desigualdad):
\[ \frac{x + 11}{(x + 4)(x - 3)} \le 0 \]Identifica los puntos críticos:
La expresión es cero cuando el numerador es cero: \(x = -11\)
La expresión no está definida cuando el denominador es cero: \(x = -4\), \(x = 3\)
Prueba los intervalos:
Divide la recta numérica usando los puntos críticos: \(-\infty, -11, -4, 3, \infty\)
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Intervalo} & \textbf{Punto de Prueba} & x+11 & x+4 & x-3 & \text{Signo de la Expresión} \frac{x + 11}{(x + 4)(x - 3)} \\ \hline (-\infty, -11) & x = -12 & - & - & - & - \\ \hline (-11, -4) & x = -5 & + & - & - & + \\ \hline (-4, 3) & x = 0 & + & + & - & - \\ \hline (3, \infty) & x = 4 & + & + & + & + \\ \hline \end{array} \]Selecciona los intervalos donde la expresión es menor o igual a 0:
Respuesta final (notación de intervalos):
\[ (-\infty, -11] \cup (-4, 3) \]Resolver Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades.