Este tutorial explica cómo resolver desigualdades polinomiales usando el método de la tabla de signos. Aprenderás a identificar puntos críticos, dividir la recta numérica en intervalos y determinar el signo de las expresiones polinomiales en cada intervalo. Cada paso se ilustra con ejemplos detallados para construir una comprensión clara del proceso.
Un polinomio puede cambiar de signo solo en sus ceros reales. Cuando se ordenan, los ceros reales de un polinomio dividen la recta numérica real en intervalos en los que el polinomio no cambia de signo.
Aquí hay un ejemplo: A continuación se muestra la gráfica del polinomio \[ y = 0.2 (x^2 -3 x -4) (-x^2 + 2x-1) (x-3) (x+3) \] Observa que la gráfica de \( y \) tiene 5 intersecciones con el eje x en los puntos: \[ A(-3,0) \quad B(-1,0) \quad C(1,0) \quad D(3,0) \quad E(4 , 0) \] que dividen la recta numérica en 6 intervalos: \[ (-\infty , -3) , (-3 , -1) , (-1 , 1 ) , (1 , 3) , (3 , 4) , (4 , +\infty) \] y el signo de la coordenada \( y \) dentro de cada intervalo es negativo o positivo, pero es el mismo en todo el intervalo.
Paso 1: Mover todos los términos a un lado
\[ x^2 + x - 6 < 0 \]Paso 2: Factorizar la expresión cuadrática del lado izquierdo
\[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \]Ahora la desigualdad se convierte en:
\[ (x + 3)(x - 2) < 0 \]Paso 3: Identificar puntos críticos tales que \( x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0 \)
\[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \quad , \quad x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]Paso 4: Probar los intervalos formados por los puntos críticos \( x = -3\) y \( x = 2\). Seleccionar valores de prueba dentro de cada intervalo
Usar una tabla de signos:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Intervalo} & \text{Valor de Prueba} & x+3 & x-2 & \text{Signo del Producto} \\ \hline (-\infty, -3) & x = -4 & - & - & + \\ (-3, 2) & x = 0 & + & - & - \\ (2, \infty) & x = 3 & + & + & + \\ \hline \end{array} \]Paso 5: Como estamos resolviendo la desigualdad \( (x + 3)(x - 2) < 0 \), elegir el intervalo donde el producto es negativo
La desigualdad se satisface cuando:
\[ (x + 3)(x - 2) < 0 \Rightarrow x \in (-3, 2) \]
Respuesta Final:
\[ \boxed{(-3, 2)} \]
Paso 1: Identificar y entender cada factor.
Paso 2: Crear una tabla de signos usando puntos de prueba en cada intervalo.
Puntos críticos: \(x = -6\) y \(x = -1\)
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Intervalo} & \textbf{Punto de Prueba} & \text{Signo de }(x + 6) & \text{Signo de }(x + 1) & \text{Signo de la Expresión }(x^2 + 2)(x + 1)(x + 6) \\ \hline (-\infty, -6) & x = -7 & - & - & \text{Positivo} \\ \hline (-6, -1) & x = -3 & + & - & \text{Negativo} \\ \hline (-1, \infty) & x = 0 & + & + & \text{Positivo} \\ \hline \end{array} \]Paso 3: Excluir puntos donde la expresión es igual a cero: \(x = -6\), \(x = -1\)
Respuesta Final: Los valores de x que hacen que la expresión \( (x^2 + 2)(x + 1)(x + 6) \) sea positiva están dados por el conjunto en forma de intervalo
\[ (-\infty, -6) \cup (-1, \infty) \]