Expresiones Racionales y su Dominio

Se examinan la definición y el dominio de las expresiones racionales. También se incluyen Ejercicios con sus soluciones.

Definición de Expresiones Racionales

Una expresión racional es el cociente de dos polinomios.

Ejemplo 1: Expresiones Racionales

  1. \[ \dfrac{x-1}{x+2} \]
  2. \[ \dfrac{2x+1}{(x-2)(x+3)} \]
  3. \[ \dfrac{-x+3}{x^2+1} \]
  4. \[ \dfrac{x^2+4}{x^3+2x^2-3x} \]
  5. \[ \dfrac{x^2+2x+1}{x^2+x-1} \]

Dominio de Expresiones Racionales

Al ser una razón, las expresiones racionales no están definidas si ocurre una división por \( 0 \). Por lo tanto, el dominio de una expresión racional excluye todos los valores que hacen que el denominador sea igual a \( 0 \).
Para encontrar el dominio de una función racional de la forma \( \dfrac{N(x)}{D(x)} \), se debe:
1 - resolver la ecuación \( D(x) = 0 \)
2 - escribir el dominio como el conjunto de todos los números reales excluyendo las soluciones de la ecuación \( D(x) = 0 \).
Nota que el dominio se puede escribir de tres maneras diferentes:
a) todos los números reales excepto las soluciones de la ecuación \( D(x) = 0 \)
b) usando intervalos
c) usando desigualdades

Ejemplo 2

¿Cuál es el dominio de cada una de las expresiones racionales del ejemplo 1 anterior?


Soluciones


  1. El dominio de la expresión racional \( \dfrac{x-1}{x+2} \) se encuentra:
    1 - resolviendo la ecuación \( x + 2 = 0 \), cuya solución es \( x = -2 \)
    2 - excluyendo la solución \( x = -2 \) del conjunto de todos los números reales.
    Por lo tanto, el dominio de la expresión racional dada se puede expresar de las siguientes formas:
    a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = -2 \).
    b) usando notación de intervalos, el dominio se escribe como: \[ (-\infty , -2) \cup (-2 , +\infty) \]
    c) usando desigualdades, el dominio se escribe como: \[ x \lt -2 \quad \text{o} \quad x \gt -2 \]


  2. El dominio de la expresión racional \( \dfrac{2x+1}{(x-2)(x+3)} \) se encuentra:
    1 - resolviendo la ecuación \( (x-2)(x+3) = 0 \), cuyas soluciones son \( x = 2 \) y \( x = -3 \)
    2 - excluyendo las soluciones \( x = 2 \) y \( x = -3 \) del conjunto de todos los números reales.
    El dominio se expresa de las siguientes formas:
    a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = 2 \) y \( x = -3 \).
    b) usando notación de intervalos: \[ (-\infty , -3) \cup (-3 , 2) \cup (2 , +\infty) \]
    c) usando desigualdades: \[ x \lt -3 \quad \text{o} \quad -3 \lt x \lt 2 \quad \text{o} \quad x \gt 2 \]


  3. El dominio de la expresión racional \( \dfrac{-x+3}{x^2+1} \) se encuentra:
    1 - resolviendo la ecuación \( x^2+1 = 0 \), la cual no tiene soluciones reales.
    El dominio se expresa de las siguientes formas:
    a) el conjunto de todos los números reales.
    b) usando notación de intervalos: \[ (-\infty , +\infty) \]


  4. El dominio de la expresión racional \( \dfrac{x^2+4}{x^3+2x^2-3x} \) se encuentra:
    1 - resolviendo la ecuación \( x^3+2x^2-3x = 0 \).
    Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación:
    \[ x^3+2x^2-3x = x(x^2 + 2x - 3) = x(x - 1)(x + 3) \]
    luego se resuelve \( x(x - 1)(x + 3) = 0 \), cuyas soluciones son: \( x = -3 \), \( x = 0 \) y \( x = 1 \).
    El dominio se expresa de las siguientes formas:
    a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = -3 \), \( x = 0 \) y \( x = 1 \).
    b) usando notación de intervalos: \[ (-\infty , -3) \cup (-3 , 0) \cup (0 , 1) \cup (1 , \infty) \]
    c) usando desigualdades: \[ x \lt -3 \quad \text{o} \quad -3 \lt x \lt 0 \quad \text{o} \quad 0 \lt x \lt 1 \quad \text{o} \quad x \gt 1 \]


  5. El dominio de la expresión racional \( \dfrac{x^2+2x+1}{x^2+x-1} \) se encuentra resolviendo la ecuación \( x^2+x-1 = 0 \).
    Usando la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática anterior:
    \[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(-1) = 5 \]
    Las soluciones de la ecuación son:
    \[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \]
    y
    \[ x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \]
    El dominio se expresa de las siguientes formas:
    a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \) y \( x = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \).
    b) usando notación de intervalos: \[ \left(-\infty , \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right) \cup \left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}, \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right) \cup \left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} , \infty \right) \]
    c) usando desigualdades: \[ x \lt \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \quad \text{o} \quad \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \lt x \lt \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \quad \text{o} \quad x \gt \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \]

Ejercicios

Encuentra el dominio de cada una de las siguientes expresiones racionales:


  1. \[ \dfrac{x+9}{x-10} \]
  2. \[ \dfrac{1}{(x-9)(x+1)} \]
  3. \[ \dfrac{1}{x^3+1} \]
  4. \[ \dfrac{-x+7}{x^4 - 16} \]

Soluciones

Solución al Ejercicio 1
El dominio de \( \dfrac{x+9}{x-10} \) se encuentra resolviendo primero la ecuación \( x-10 = 0 \) cuya solución es \( x = 10 \).
El dominio se expresa de las siguientes formas:
a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = 10 \).
b) usando notación de intervalos: \[ (-\infty , 10) \cup (10, \infty) \]
c) usando desigualdades: \[ x \lt 10 \quad \text{o} \quad x \gt 10 \]


Solución al Ejercicio 2
El dominio de \( \dfrac{1}{(x-9)(x+1)} \) se encuentra resolviendo la ecuación \( (x-9)(x+1) = 0 \) cuyas soluciones son \( x = -1 \) y \( x = 9 \).
El dominio se expresa de las siguientes formas:
a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = -1 \) y \( x = 9 \).
b) usando notación de intervalos: \[ (-\infty , -1) \cup (-1, 9) \cup (9, \infty) \]
c) usando desigualdades: \[ x \lt -1 \quad \text{o} \quad -1 \lt x \lt 9 \quad \text{o} \quad x \gt 9 \]


Solución al Ejercicio 3
El dominio de \( \dfrac{1}{x^3+1} \) se encuentra resolviendo la ecuación \( x^3 + 1 = 0 \) cuya solución es \( x = -1 \).
El dominio se expresa de las siguientes formas:
a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = -1 \).
b) usando notación de intervalos: \[ (-\infty , -1) \cup (-1, \infty) \]
c) usando desigualdades: \[ x \lt -1 \quad \text{o} \quad x \gt -1 \]


Solución al Ejercicio 4
El dominio de \( \dfrac{-x+7}{x^4 - 16} \) se encuentra resolviendo la ecuación \( x^4 - 16 = 0 \), que se puede resolver factorizando de la siguiente manera:
\[ x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \]
Las soluciones reales de la ecuación \( x^4 - 16 = 0 \) son \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
El dominio se expresa de las siguientes formas:
a) el conjunto de todos los números reales excepto \( x = -2 \) y \( x = 2 \).
b) usando notación de intervalos: \[ (-\infty , -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) \]
c) usando desigualdades: \[ x \lt -2 \quad \text{o} \quad -2 \lt x \lt 2 \quad \text{o} \quad x \gt 2 \]


Más Referencias y Enlaces

Calculadora para Simplificar Expresiones Racionales.