Máximo y Mínimo Absolutos de una Función

Cuando \(f'(x_0) = 0\) y el signo de \(f'(x)\) cambia, \(x_0\) puede corresponder a un máximo o mínimo local (y posiblemente absoluto).

Los extremos pueden ocurrir donde la derivada no existe.

Considera \(f(x) = x^3 - 2x^2\) en \([-1, 5/2]\). Existen extremos locales, pero los extremos absolutos ocurren en los extremos del intervalo:

Encuentra el máximo y el mínimo absolutos de la función \(f\) definida por \[ f(x) = - x^2 + 2 x - 2 \;\; \text{en} \;\; [-2 , 3] \].

Solución del Ejemplo 4

Paso 1: Calcular la Primera Derivada
Para encontrar el máximo y el mínimo absolutos de la función, comenzamos calculando la primera derivada de \(f(x) = -x^2 + 2x - 2\):
\[ f'(x) = -2x + 2 \]

Paso 2: Determinar los Puntos Críticos
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
\[ -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Dado que la primera derivada está definida para todo \(x\) en el intervalo \([-2, 3]\), y \(x = 1\) se encuentra dentro de ese intervalo, es un punto crítico válido.

Paso 3: Evaluar la Función en los Extremos y Puntos Críticos
Ahora evaluamos la función original en los extremos y en el punto crítico \(x = 1\):
\[ f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -4 - 4 - 2 = -10 \]
\[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \]
\[ f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 2 = -9 + 6 - 2 = -5 \]

Conclusión:
- El valor máximo absoluto es \(f(1) = -1\), el cual ocurre en \(x = 1\).
- El valor mínimo absoluto es \(f(-2) = -10\), el cual ocurre en \(x = -2\).

La gráfica a continuación ilustra la función, mostrando el punto crítico y los extremos, y resaltando los valores mínimo y máximo absolutos:

Determina los valores máximo y mínimo absolutos de la función \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \) en el intervalo cerrado \( [-1, 1] \).

Solución del Ejemplo 5

Paso 1: Calcular la Primera Derivada

Derivamos la función para encontrar sus puntos críticos:

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

Paso 2: Encontrar los Puntos Críticos Resolviendo \( f'(x) = 0 \)

Igualamos la derivada a cero:

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

Las soluciones son \( x = 0 \), \( x = 1 \) y \( x = -2 \). Sin embargo, solo \( x = 0 \) y \( x = 1 \) se encuentran dentro del intervalo \( [-1, 1] \). Por lo tanto, los puntos críticos en el dominio son \( x = 0 \) y \( x = 1 \).

Paso 3: Evaluar la Función en los Extremos y Puntos Críticos

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

Paso 4: Identificar el Máximo y Mínimo Absolutos

• Valor máximo absoluto: \( f(0) = 0 \) en \( x = 0 \)
• Valor mínimo absoluto: \( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \) en \( x = -1 \)

La gráfica de la función \( f(x) \) se muestra a continuación, ilustrando los puntos críticos, los extremos y las ubicaciones del máximo y mínimo absolutos.

Encuentra los valores máximo y mínimo absolutos de la función \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \) en el intervalo cerrado \( [0.5 , 2] \).

Solución del Ejemplo 6

Paso 1: Calcular la Primera Derivada

Derivamos usando la regla del producto: \[ f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \] \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \]

Paso 2: Encontrar los Puntos Críticos

Igualamos la primera derivada a cero: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x = x(2 \ln(x) + 1) = 0 \]

Resolvemos:

• \( x = 0 \) (excluido ya que no está en el dominio)
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Solo \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) se encuentra dentro del intervalo \( [0.5 , 2] \), por lo que es el único punto crítico en el dominio.

Paso 3: Evaluar la Función en los Extremos y el Punto Crítico

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

Respuesta Final

• Valor máximo absoluto: \( \boxed{1.772} \) en \( x = 2 \)
• Valor mínimo absoluto: \( \boxed{-1.1839} \) en \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Encuentra los valores máximo y mínimo absolutos de la función \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) en el intervalo cerrado \([-1.1 , 4]\).

Solución del Ejemplo 7

Paso 1: Reescribir y Derivar la Función

Usa la identidad \( |u| = \sqrt{u^2} \) para reescribir la función:

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

Ahora derivamos:

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

Paso 2: Encontrar Puntos Críticos

La derivada no está definida cuando el denominador es cero:

Igualamos \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( (x+1)(x-3) = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \) y \( x = 3 \)

Para encontrar dónde \( f'(x) = 0 \), resolvemos:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     (Ecuación 1)

Caso 1: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

Entonces \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \), y la Ecuación 1 se convierte en:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

Soluciones: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

Caso 2: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

Entonces \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \), y la Ecuación 1 se convierte en:

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

Soluciones: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

Verificar Puntos Críticos

• \( x = -1 \), \( x = 3 \): Derivada no definida — puntos críticos.
• \( x = \dfrac{1}{2} \): Sustituyendo en el numerador \(\Rightarrow\) el resultado es 0 \(\Rightarrow\) punto crítico válido.
• \( x = \dfrac{3}{2} \): Sustituyendo en el numerador \(\Rightarrow\) no es 0 \(\Rightarrow\) no es un punto crítico.

Conclusión: Los puntos críticos de \( f(x) \) son: \( x = -1 \), \( x = \dfrac{1}{2} \) y \( x = 3 \).

Paso 3: Evaluar \( f(x) \) en los Extremos y Puntos Críticos

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

Respuesta Final:

• Máximo Absoluto: \( f(x) = 3.25 \) en \( x = \dfrac{1}{2} \)
• Mínimo Absoluto: \( f(x) = -3 \) en \( x = 3 \)

Gráfica de la Función

La gráfica de \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) a continuación muestra los puntos críticos y los extremos del intervalo \([-1.1 , 4]\), junto con los valores máximo y mínimo absolutos.

Encuentra el máximo y el mínimo absolutos de la función \( f \) definida por \[ f(x) = (x-2)^{2/5} \;\; \text{en} \;\; [-3 , 4] \].

Solución del Ejemplo 8

Paso 1: Calcular la primera derivada de la función
Dada la función:
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

La primera derivada es:
\[ f'(x) = \dfrac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x - 2)^{3/5}} \]

Paso 2: Identificar puntos críticos
La derivada \( f'(x) \) no tiene ceros porque el numerador es constante.
Sin embargo, la derivada no está definida cuando el denominador es cero, es decir, cuando \( x = 2 \).
Por lo tanto, \( x = 2 \) es un punto crítico porque la derivada no está definida en ese punto.

Paso 3: Evaluar f(x) en los extremos y el punto crítico
Calcula los valores de la función en puntos clave dentro del intervalo \([-3, 4]\):

\[ f(-3) = ((-3) - 2)^{2/5} = (-5)^{2/5} \approx 1.90 \]
\[ f(4) = (4 - 2)^{2/5} = 2^{2/5} \approx 1.32 \]
\[ f(2) = (2 - 2)^{2/5} = 0^{2/5} = 0 \]

Paso 4: Determinar el máximo y el mínimo absolutos
A partir de las evaluaciones anteriores:

• Mínimo absoluto: 0 en \( x = 2 \)
• Máximo absoluto: aproximadamente 1.90 en \( x = -3 \)

Representación Gráfica:
La gráfica de \( f(x) = (x - 2)^{2/5} \) en el intervalo \([-3, 4]\) confirma el punto crítico en \( x = 2 \), así como los valores mínimo y máximo absolutos.