Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Presentamos ejemplos donde las ecuaciones diferenciales se aplican ampliamente para modelar fenómenos naturales, sistemas de ingeniería y muchas otras situaciones.
Aplicación 1: Crecimiento Exponencial - Población
Sea \( P(t) \) una cantidad que aumenta con el tiempo \( t \) y la tasa de aumento es proporcional a la misma cantidad \( P \) de la siguiente manera:
\[
\frac{dP}{dt} = kP
\]
donde \( \frac{dP}{dt} \) es la primera derivada de \( P \), \( k > 0 \), y \( t \) es el tiempo.
La solución a la ecuación diferencial de primer orden anterior está dada por:
\[
P(t) = A e^{kt}
\]
donde \( A \) es una constante diferente de 0.
Si \( P = P_0 \) en \( t = 0 \), entonces:
\[
P_0 = A e^0
\]
lo que da \( A = P_0 \).
La forma final de la solución es:
\[
P(t) = P_0 e^{kt}
\]
Suponiendo que \( P_0 \) es positivo y como \( k \) es positivo, \( P(t) \) es una exponencial creciente. \( \frac{dP}{dt} = kP \) también se conoce como modelo de crecimiento exponencial.
Aplicación 2: Decaimiento Exponencial - Material Radiactivo
Sea \( M(t) \) la cantidad de un producto que disminuye con el tiempo \( t \) y la tasa de disminución es proporcional a la cantidad \( M \) de la siguiente manera:
\[
\frac{dM}{dt} = -kM
\]
donde \( \frac{dM}{dt} \) es la primera derivada de \( M \), \( k > 0 \), y \( t \) es el tiempo.
Resolviendo la ecuación diferencial de primer orden anterior obtenemos:
\[
M(t) = A e^{-kt}
\]
donde \( A \) es una constante diferente de cero.
Si asumimos que \( M = M_0 \) en \( t = 0 \), entonces:
\[
M_0 = A e^0
\]
lo que da \( A = M_0 \).
La solución puede escribirse como:
\[
M(t) = M_0 e^{-kt}
\]
Suponiendo que \( M_0 \) es positivo y como \( k \) es positivo, \( M(t) \) es una exponencial decreciente. \( \frac{dM}{dt} = -kM \) también se conoce como modelo de decaimiento exponencial.
Aplicación 3: Objeto en Caída Libre
Un objeto se deja caer desde una altura en el tiempo \( t = 0 \). Si \( h(t) \) es la altura del objeto en el tiempo \( t \), \( a(t) \) la aceleración, y \( v(t) \) la velocidad. Las relaciones entre \( a \), \( v \), y \( h \) son las siguientes:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt}.
\]
Para un objeto en caída libre, \( a(t) \) es constante e igual a \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \).
Combinando las ecuaciones diferenciales anteriores, podemos deducir fácilmente la siguiente ecuación:
\[
\frac{d^2h}{dt^2} = g
\]
Integrando ambos lados de la ecuación anterior obtenemos:
\[
\frac{dh}{dt} = gt + v_0
\]
Integrando una vez más obtenemos:
\[
h(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0
\]
La ecuación anterior describe la altura de un objeto en caída libre, desde una altura inicial \( h_0 \) y una velocidad inicial \( v_0 \), en función del tiempo.
Aplicación 4: Ley de Enfriamiento de Newton
Es un modelo que describe, matemáticamente, el cambio de temperatura de un objeto en un entorno dado. La ley establece que la tasa de cambio (en el tiempo) de la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura \( T \) del objeto y la temperatura \( T_e \) del entorno que rodea al objeto.
\[
\frac{dT}{dt} = -k(T - T_e)
\]
Sea \( x = T - T_e \) de modo que \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \).
Usando el cambio de variable anterior, la ecuación diferencial se convierte en:
\[
\frac{dx}{dt} = -kx
\]
La solución a la ecuación diferencial anterior está dada por:
\[
x = A e^{-kt}
\]
Sustituimos \( x \) por \( T - T_e \):
\[
T - T_e = A e^{-kt}
\]
Supongamos que en \( t = 0 \) la temperatura \( T = T_0 \):
\[
T_0 - T_e = A e^0
\]
lo que da \( A = T_0 - T_e \)
La expresión final para \( T(t) \) es:
\[
T(t) = T_e + (T_0 - T_e)e^{-kt}
\]
Esta última expresión muestra cómo cambia la temperatura \( T \) del objeto con el tiempo.
Aplicación 5: Circuito RL
Consideremos el circuito RL (resistencia R e inductor L) mostrado arriba. En \( t = 0 \), el interruptor se cierra y la corriente pasa a través del circuito. Las leyes de la electricidad establecen que el voltaje a través de una resistencia de resistencia \( R \) es igual a \( R i \), y el voltaje a través de un inductor \( L \) está dado por \( L \frac{di}{dt} \) (donde \( i \) es la corriente). Otra ley proporciona una ecuación que relaciona todos los voltajes en el circuito anterior de la siguiente manera:
\[
L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{donde } E \text{ es un voltaje constante}.
\]
Resolvamos la ecuación diferencial anterior, que puede escribirse como:
\[
L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1
\]
Esto puede escribirse como:
\[
-\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt
\]
Integramos ambos lados:
\[
-\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{ constante de integración}.
\]
Encontramos la constante \( c \) estableciendo \( i = 0 \) en \( t = 0 \) (cuando se cierra el interruptor), lo que da:
\[
c = -\frac{L}{R} \ln(E)
\]
Sustituimos \( c \) en la solución:
\[
-\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E)
\]
Esto puede escribirse como:
\[
\frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t
\]
Transformamos a forma exponencial:
\[
\frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)}
\]
Resolvemos para \( i \) y obtenemos:
\[
i = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}\right)
\]
El modelo inicial para el circuito es una ecuación diferencial que, al resolverse, proporciona una expresión de la corriente en el circuito en función del tiempo.
Más Referencias y Enlaces
Ecuaciones Diferenciales
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