Presentamos ejemplos en los que las ecuaciones diferenciales se aplican ampliamente para modelar fenómenos naturales, sistemas de ingeniería y muchas otras situaciones.
Aplicación 1: Crecimiento exponencial - Población
Sea \( P(t) \) una cantidad que aumenta con el tiempo \( t \) y cuya tasa de aumento es proporcional a la misma cantidad \( P \) de la siguiente manera:
\[ \frac{dP}{dt} = kP \]donde \( \frac{dP}{dt} \) es la primera derivada de \( P \), \( k > 0 \) y \( t \) es el tiempo.
La solución de la ecuación diferencial de primer orden anterior está dada por:
\[ P(t) = A e^{kt} \]donde \( A \) es una constante distinta de 0.
Si \( P = P_0 \) en \( t = 0 \), entonces:
\[ P_0 = A e^0 \]lo que da \( A = P_0 \). La forma final de la solución está dada por:
Suponiendo que \( P_0 \) es positivo y dado que \( k \) es positivo, \( P(t) \) es una exponencial creciente. \( \frac{dP}{dt} = kP \) también se denomina modelo de crecimiento exponencial.
Aplicación 2: Decaimiento exponencial - Material radiactivo
Sea \( M(t) \) la cantidad de un producto que disminuye con el tiempo \( t \) y cuya tasa de disminución es proporcional a la cantidad \( M \) de la siguiente manera:
\[ \frac{dM}{dt} = -kM \]donde \( \frac{dM}{dt} \) es la primera derivada de \( M \), \( k > 0 \) y \( t \) es el tiempo.
Resuelva la ecuación diferencial de primer orden anterior para obtener:
\[ M(t) = A e^{-kt} \]donde \( A \) es una constante distinta de cero.
Si asumimos que \( M = M_0 \) en \( t = 0 \), entonces:
\[ M_0 = A e^0 \]lo que da \( A = M_0 \). La solución se puede escribir de la siguiente manera:
Suponiendo que \( M_0 \) es positivo y dado que \( k \) es positivo, \( M(t) \) es una exponencial decreciente. \( \frac{dM}{dt} = -kM \) también se denomina modelo de decaimiento exponencial.
Aplicación 3: Objeto en caída libre
Un objeto se deja caer desde una altura en el tiempo \( t = 0 \). Si \( h(t) \) es la altura del objeto en el tiempo \( t \), \( a(t) \) la aceleración y \( v(t) \) la velocidad, las relaciones entre \( a \), \( v \) y \( h \) son las siguientes:
\[ a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt} \]Para un objeto en caída libre, \( a(t) \) es constante y es igual a \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \).
Combinando las ecuaciones diferenciales anteriores, podemos deducir fácilmente la siguiente ecuación:
\[ \frac{d^2h}{dt^2} = g \]Integremos ambos lados de la ecuación anterior para obtener:
\[ \frac{dh}{dt} = gt + v_0 \]Integremos una vez más para obtener:
La ecuación anterior describe la altura de un objeto en caída libre, desde una altura inicial \( h_0 \) a una velocidad inicial \( v_0 \), en función del tiempo.
Aplicación 4: Ley de enfriamiento de Newton
Es un modelo que describe matemáticamente el cambio de temperatura de un objeto en un entorno dado. La ley establece que la tasa de cambio (en el tiempo) de la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura \( T \) del objeto y la temperatura \( T_e \) del entorno que lo rodea:
\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_e) \]Sea \( x = T - T_e \) de modo que \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \).
Utilizando el cambio de variable anterior, la ecuación diferencial se convierte en:
\[ \frac{dx}{dt} = -kx \]La solución de la ecuación diferencial anterior está dada por:
\[ x = A e^{-kt} \]Sustituya \( x \) por \( T - T_e \):
\[ T - T_e = A e^{-kt} \]Asuma que en \( t = 0 \) la temperatura es \( T = T_0 \):
\[ T_0 - T_e = A e^0 \]lo que da \( A = T_0 - T_e \).
La expresión final para \( T(t) \) está dada por:
Esta última expresión muestra cómo cambia la temperatura \( T \) del objeto con el tiempo.
Aplicación 5: Circuito RL
Consideremos el circuito RL (resistencia R e inductor L) que se muestra arriba. En \( t = 0 \), el interruptor se cierra y la corriente pasa a través del circuito. Las leyes de la electricidad establecen que el voltaje en una resistencia de resistencia \( R \) es igual a \( R i \), y el voltaje en un inductor \( L \) está dado por \( L \frac{di}{dt} \) (donde \( i \) es la corriente). Otra ley proporciona una ecuación que relaciona todos los voltajes en el circuito de la siguiente manera:
\[ L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{donde } E \text{ es un voltaje constante} \]Resolvamos la ecuación diferencial anterior, que se puede escribir de la siguiente manera:
\[ L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1 \]Esto se puede escribir como:
\[ -\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt \]Integremos ambos lados:
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{ constante de integración} \]Encuentre la constante \( c \) estableciendo \( i = 0 \) en \( t = 0 \) (cuando el interruptor se cierra), lo que da:
\[ c = -\frac{L}{R} \ln(E) \]Sustituya \( c \) en la solución:
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E) \]Esto se puede escribir como:
\[ \frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t \]Cámbielo a forma exponencial:
\[ \frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)} \]Despeje \( i \) para obtener:
El modelo inicial para el circuito es una ecuación diferencial que, al resolverse, proporciona una expresión de la corriente en el circuito en función del tiempo.