Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
Esta página presenta las ecuaciones diferenciales de segundo orden, enfocándose en su forma general y en ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Estas ecuaciones aparecen con frecuencia en física, ingeniería y matemáticas aplicadas.
Forma General
Una ecuación diferencial lineal de segundo orden se puede escribir como
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = R(x) \]Si \(R(x)\neq 0\), la ecuación se llama no homogénea.
Si \(R(x)=0\), la ecuación se convierte en
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]y se llama ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.
Solución General de la Ecuación Homogénea
Si \(y_1(x)\) y \(y_2(x)\) son dos soluciones linealmente independientes de
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + P(x)\frac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \]entonces la solución general es
\[ y(x)=Ay_1(x)+By_2(x) \]donde \(A\) y \(B\) son constantes.
Dos funciones son linealmente independientes si ninguna es un múltiplo constante de la otra.
Ecuaciones de Segundo Orden con Coeficientes Constantes
Las ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes tienen la forma
\[ \frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0 \]donde \(b\) y \(c\) son constantes.
Buscamos soluciones de la forma
\[ y=e^{kx} \]Entonces
\[ \frac{dy}{dx}=ke^{kx}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2}=k^2e^{kx} \]Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene
\[ k^2e^{kx}+bke^{kx}+ce^{kx}=0 \]Factorizando \(e^{kx}\),
\[ e^{kx}(k^2+bk+c)=0 \]Dado que \(e^{kx}\neq 0\), obtenemos la ecuación característica (auxiliar)
\[ k^2+bk+c=0 \]Las raíces son
\[ k_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2} \]Sea \(D=b^2-4c\). Surgen tres casos:
- D > 0: dos raíces reales distintas
- D = 0: una raíz real repetida
- D < 0: raíces complejas conjugadas
Cada caso conduce a una forma diferente de la solución general.
Vea ejemplos resueltos aquí: