Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes cuando la ecuación característica (auxiliar) tiene dos raíces reales distintas. Se incluyen ejemplos paso a paso y ejercicios prácticos.
Consideremos la ecuación diferencial
\[ y'' + a y' + b y = 0 \]Formamos la ecuación característica (auxiliar)
\[ k^2 + a k + b = 0 \]Si esta ecuación cuadrática tiene dos raíces reales distintas \( k_1 \neq k_2 \), entonces la solución general es
\[ y = A e^{k_1 x} + B e^{k_2 x} \]donde \( A \) y \( B \) son constantes.
Resolver:
\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]La ecuación auxiliar es
\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]Factorizamos:
\[ (k+3)(k-1)=0 \]Raíces:
\[ k_1=-3,\quad k_2=1 \]Solución general:
\[ y = A e^{-3x} + B e^{x} \]Resolver:
\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]con
\[ y(0)=1,\quad y'(0)=0 \]Ecuación auxiliar:
\[ k^2+3k-10=0 \]Raíces:
\[ k_1=2,\quad k_2=-5 \]Solución general:
\[ y=Ae^{2x}+Be^{-5x} \]Aplicamos las condiciones iniciales:
\[ A+B=1 \] \[ 2A-5B=0 \]Resolviendo se obtiene:
\[ A=\frac{5}{7},\quad B=\frac{2}{7} \]Solución final:
\[ y=\frac{5}{7}e^{2x}+\frac{2}{7}e^{-5x} \]