Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes cuando la ecuación característica (auxiliar) tiene dos raíces reales distintas. Se incluyen ejemplos paso a paso y ejercicios.
Método General
Considera la ecuación diferencial:
\[ y'' + ay' + by = 0 \]Formamos la ecuación característica (auxiliar):
\[ k^2 + ak + b = 0 \]Si esta ecuación cuadrática tiene dos raíces reales distintas \( k_1 \neq k_2 \), entonces la solución general es:
donde \( A \) y \( B \) son constantes arbitrarias.
Ejemplos Resueltos
Ejemplos Resueltos Paso a Paso
Ejemplo 1
Resuelva:
\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]Solución:
La ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]Factorizamos:
\[ (k + 3)(k - 1) = 0 \]Raíces:
\[ k_1 = -3, \quad k_2 = 1 \]Solución general:
\[ y = Ae^{-3x} + Be^{x} \]Ejemplo 2 (Con Condiciones Iniciales)
Resuelva:
\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]sujeta a las condiciones iniciales:
\[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \]Solución:
Ecuación auxiliar:
\[ k^2 + 3k - 10 = 0 \implies (k + 5)(k - 2) = 0 \]Raíces:
\[ k_1 = 2, \quad k_2 = -5 \]Solución general:
\[ y = Ae^{2x} + Be^{-5x} \]Aplica las condiciones iniciales para encontrar \( A \) y \( B \):
1) \( y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 1 \)
Calcula la derivada \( y'(x) = 2Ae^{2x} - 5Be^{-5x} \):
2) \( y'(0) = 2A - 5B = 0 \)
Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene:
\[ A = \frac{5}{7}, \quad B = \frac{2}{7} \]Solución final:
\[ y = \frac{5}{7}e^{2x} + \frac{2}{7}e^{-5x} \]Ejercicios de Práctica y Respuestas
Problemas de Práctica y Soluciones
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
- \( y'' + 5y' - 6y = 0 \)
- \( y'' + y' - 2y = 0 \), con \( y(0) = 2 \), \( y'(0) = 0 \)
Respuestas:
- \( y = Ae^{x} + Be^{-6x} \)
- \( y = \dfrac{4}{3}e^{x} + \dfrac{2}{3}e^{-2x} \)