Sea \[ f(x) = (g_{\circ} h)(x) = g(h(x) ) \]
la composición de dos funciones.
Sea \( u = h(x) \). Usando lo anterior, la función \( f \) se puede escribir como:
\[ f(x) = g(u)\]
La derivada \( f' \) de \( f \) respecto a \( x \) está dada por la regla de la cadena de derivación [1] :
\[ \boxed { f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} } \]
Ejemplos Usando la Regla de la Cadena de Derivación
Ahora presentamos varios ejemplos de aplicaciones de la regla de la cadena.
Ejemplo 1
Encuentra la derivada \( f'(x) \) dada
\[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]
Solución del Ejemplo 1
Sea \( u = 5x - 2 \) y \( f(u) = 4 \cos u \), entonces
\[ \dfrac{du}{dx} = 5 \] y \[ \dfrac{df}{du} = - 4 \sin u \]
Ahora usamos la regla de la cadena
\[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \\ = - 4 \sin (u) \cdot 5\]
Ahora sustituimos \( u = 5x - 2\) en \( \sin (u) \) arriba para obtener
\[ \boxed{ f '(x) = - 20 \sin (5x - 2) } \]
Ejemplo 2
Encuentra la derivada \( f '(x) \) dada
\[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]
Solución del Ejemplo 2
Sea \( u = x^3 - 4x + 5\) y \( f(u) = u^4 \) lo que da
\[ \dfrac{du}{dx} = 3 x^2 - 4 \] y \[ \dfrac{df}{du} = 4 u^3 \]
Usamos la regla de la cadena
\[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \\
= (4 u^3) (3 x^2 - 4) \]
Ahora sustituimos \( u = x^3 - 4x + 5 \) arriba para obtener
\[ \boxed{ f '(x) = 4 (x^3 - 4x + 5)^3 (3 x^2 - 4) } \]
Ejemplo 3
Encuentra \( f '(x) \) dada
\[ f(x) = \sqrt {x^2 + 2x -1} \]
Solución del Ejemplo 3
Sea \( u = x^2 + 2x -1 \) y \( f(u) = \sqrt u \) lo que da
\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \] y \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2 \sqrt u} \]
Usamos la regla de la cadena y obtenemos
\[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{ 2 \sqrt u} (2x+2) \]
Sustituimos \( u = x^2 + 2x -1 \) arriba para obtener
\[ f '(x) = \dfrac{2x + 2}{2 \sqrt{x^2 + 2x -1}} \]
Factorizamos 2 en el numerador y el denominador y simplificamos
\[ \boxed{ f '(x) = \dfrac{x + 1}{ \sqrt{x^2 + 2x -1}}} \]
Ejemplo 4
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada
\[ f(x) = \sin ^2 (2x + 3) \]
Solución del Ejemplo 4
Sea \( u = \sin (2x + 3) \) y \( f(u) = u^2 \) lo que da
\[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \] y \[ \dfrac{df}{du} = 2 u \]
El uso de la regla de la cadena lleva a
\[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2 u \cdot 2 \cos(2x + 3) \]
Sustituimos \( u = \sin (2x + 3) \) arriba para obtener
\[ f '(x) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \]
Usamos la identidad trigonométrica \( \sin (2x) = 2 \sin x \cos x \) para simplificar \( f '(x) \)
\[ \boxed{ f '(x) = 2 \sin (4x + 6) } \]
Ejemplo 5
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada
\[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]
Solución del Ejemplo 5
Sea \( u = x^2 + x \) y \( f(u) = \ln u \) , entonces
\[ \dfrac{du}{dx} = 2 x + 1 \] y \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \]
Usamos la regla de la cadena y sustituimos
\[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2 x + 1) \]
Sustituimos \( u = x^2 + x \)
\[ \boxed{ f'(x) = \dfrac{2 x + 1}{x^2 + x} } \]
Ejercicios Sobre la Regla de la Cadena de Derivación
Usa la regla de la cadena para encontrar la primera derivada de cada una de las funciones.
