Usa la regla de la cadena de diferenciación en cálculo
La regla de la cadena de diferenciación de funciones en cálculo es
presentado junto con varios ejemplos y soluciones detalladas y
comentarios También en este sitio, Calculadora paso a paso para buscar derivados utilizando la regla de la cadena
Sea f(x) = (g o h) (x) = g (h(x)) e u = g(x)
Deje y = f(u); se da la derivada de f con respecto a x, f '(x)
por:
f '(x) = (dy / du) (du / dx)
Ahora presentamos varios ejemplos de aplicaciones de la regla de la cadena.
Ejemplo 1: Encuentre la derivada f '(x), si f está dada por
f(x) = 4 cos (5x - 2)
Solución al Ejemplo 1
- Déjalo u = 5x - 2 e y = 4 cos u,
por lo tanto,
du / dx = 5 e dy / du = - 4 sin u
- Ahora usamos la regla de la cadena
f '(x) = (dy / du) (du / dx) = - 4 sin(u) (5)
- Ahora sustituimos u = 5x - 2 en sin(u)
arriba para obtener
f '(x) = - 20 sin (5x - 2)
Ejemplo 2: Encuentre la derivada f '(x), si f está dada por
f(x) = (x 3 - 4x + 5) 4
Solución al Ejemplo 2
- Let u = x 3 - 4x + 5 e y = u 4 , por lo tanto,
du / dx = 3 x 2 - 4 e dy / du = 4 u 3
- Usa la regla de la cadena
f '(x) = (dy / du) (du / dx) = (4 u 3 ) (3 x 2 - 4)
- Ahora sustituimos u = x 3 - 4x + 5 arriba para obtener
f '(x) = 4 (x 3 - 4x + 5) 3 (3
x 2 - 4)
Ejemplo 3: Encuentra f '(x), si f está dada por
f (x) = √(x 2 + 2x -1)
Solución al Ejemplo 3
- Let u = x 2 + 2x -1 yy = √(u), por lo tanto,
du / dx = 2x + 2 y dy / du = 1 / (2 √(u))
- Usa la regla de la cadena
f '(x) = (dy / du) (du / dx) = [1 / (2 √(u))] (2x +
2)
- Sustituya u = x 2 + 2x -1 arriba
para obtener
f '(x) = (2x + 2) [ 1 / (2 √(x 2 + 2x -1)) ]
- Factor 2 en numerador y denominador y simplificar
f '(x) = (x + 1) / (√(x 2 + 2x -1))
Ejemplo 4: Encuentra la primera derivada de f si f está dada por
f(x) = sin 2 (2x + 3)
Solución al Ejemplo 4
- Let u = sin(2x + 3) e y = u 2 , por lo tanto,
du / dx = 2 cos (2x + 3) y dy / du = 2 u
- Usa la regla de la cadena
f '(x) = (dy / du) (du / dx) = 2 u 2 cos (2x + 3)
- Sustituye u = sin(2x + 3) de arriba a obtener
f '(x) = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
- Usa la función trigonométrica fromula sin (2x) = 2 sinx cos x para simplificar f '(x)
f '(x) = 2 sin (4x + 6)
Ejercicios: Encuentra la primera derivada de cada una de las funciones.
1 - f(x) = cos (3x -3)
2 - l(x) = (3x 2 -3x + 8) 4
3 - m(x) = sin [ 1 / (x - 2)]
4 - t(x) = sqrt (3x 2 - 3x + 6)
5 - r(x) = sin 2 (4x + 20)
Soluciones para los ejercicios anteriores
1 - f '(x) = -3 sin (3x -3)
2 - l(x) = 12 (2x - 1) (3x 2 -3x + 8) 3
3 - m(x) = -1 / (x - 2) 2 cos [ 1 / (x - 2)]
4 - t(x) = (3/2)(2x - 1) / sqrt (3x 2 - 3x + 6)
5 - r(x) = 4 sin (8x + 4)
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