Regla de la Cadena de Diferenciación en Cálculo

La regla de la cadena de la diferenciación de funciones en cálculo se presenta junto con varios ejemplos y soluciones detalladas y comentarios. También se incluyen ejercicios con respuestas.

Regla de la Cadena de Diferenciación

Sea \[ f(x) = (g_{\circ} h)(x) = g(h(x)) \] la composición de dos funciones.
Sea \( u = h(x) \). Usando lo anterior, la función \( f \) puede escribirse como: \[ f(x) = g(u) \] la derivada \( f' \) de \( f \) con respecto a \( x \) está dada por la regla de la cadena de diferenciación [1]: \[ \boxed{ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} } \]


Ejemplos de Uso de la Regla de la Cadena de Diferenciación

A continuación, presentamos varios ejemplos de aplicaciones de la regla de la cadena.

Ejemplo 1

Halla la derivada \( f'(x) \) dada \[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]

Solución al Ejemplo 1

Sea \( u = 5x - 2 \) y \( f(u) = 4 \cos u \), por lo tanto \[ \dfrac{du}{dx} = 5 \] y \[ \dfrac{df}{du} = -4 \sin u \] Ahora usamos la regla de la cadena \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = -4 \sin (u) \cdot 5 \] Ahora sustituimos \( u = 5x - 2 \) en \( \sin (u) \) arriba para obtener \[ \boxed{ f '(x) = -20 \sin (5x - 2) } \]


Ejemplo 2

Halla la derivada \( f '(x) \) dada \[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]

Solución al Ejemplo 2

Sea \( u = x^3 - 4x + 5\) y \( f(u) = u^4 \), lo que da \[ \dfrac{du}{dx} = 3 x^2 - 4 \] y \[ \dfrac{df}{du} = 4 u^3 \] Uso de la regla de la cadena \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = (4 u^3) (3 x^2 - 4) \] Ahora sustituimos \( u = x^3 - 4x + 5 \) arriba para obtener \[ \boxed{ f '(x) = 4 (x^3 - 4x + 5)^3 (3 x^2 - 4) } \]


Ejemplo 3

Halla \( f '(x) \) dada \[ f(x) = \sqrt {x^2 + 2x -1} \]

Solución al Ejemplo 3

Sea \( u = x^2 + 2x -1 \) y \( f(u) = \sqrt u \), lo que da \[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \] y \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2 \sqrt u} \] Usamos la regla de la cadena para obtener \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{ 2 \sqrt u} (2x+2) \] Sustituye \( u = x^2 + 2x -1 \) arriba para obtener \[ f '(x) = \dfrac{2x + 2}{2 \sqrt{x^2 + 2x -1}} \] Factoriza 2 en el numerador y denominador y simplifica \[ \boxed{ f '(x) = \dfrac{x + 1}{ \sqrt{x^2 + 2x -1}}} \]


Ejemplo 4

Halla la primera derivada de \( f \) dada \[ f(x) = \sin ^2 (2x + 3) \]

Solución al Ejemplo 4

Sea \( u = \sin (2x + 3) \) y \( f(u) = u^2 \), lo que da \[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \] y \[ \dfrac{df}{du} = 2 u \] El uso de la regla de la cadena lleva a \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2 u \cdot 2 \cos(2x + 3) \] Sustituye \( u = \sin (2x + 3) \) arriba para obtener \[ f '(x) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \] Usa la identidad trigonométrica \( \sin (2x) = 2 \sin x \cos x \) para simplificar \( f '(x) \) \[ \boxed{ f '(x) = 2 \sin (4x + 6) } \]


Ejemplo 5

Halla la primera derivada de \( f \) dada \[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]

Solución al Ejemplo 5

Sea \( u = x^2 + x \) y \( f(u) = \ln u \), por lo tanto \[ \dfrac{du}{dx} = 2 x + 1 \] y \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \] Usa la regla de la cadena y sustituye \[ f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2 x + 1) \] Sustituye nuevamente \( u = x^2 + x \) \[ \boxed{ f'(x) = \dfrac{2 x + 1}{x^2 + x} } \]


Ejercicios sobre la Regla de la Cadena de Diferenciación

Utiliza la regla de la cadena para hallar la primera derivada de cada una de las funciones.

  1. \( f(x) = \cos (3x - 3) \)

  2. \( l(x) = (3x^2 - 3 x + 8)^4 \)

  3. \( m(x) = \sin \left( \dfrac{1}{x-2} \right) \)

  4. \( t(x) = \sqrt {3x^2 - 3 x + 6 } \)

  5. \( r(x) = \sin^2 (4 x + 20) \)

Respuestas a los Ejercicios Anteriores

  1. \( f'(x) = -3 \sin (3 x - 3) \)

  2. \( l'(x) = 12 (2 x - 1) (3 x^2 - 3 x + 8)^3 \)

  3. \( m'(x) = - \dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left( \dfrac{1}{x-2} \right) \)

  4. \( t'(x) = \dfrac{6x-3}{ 2 \sqrt{3 x^2 - 3 x + 6}} \)

  5. \( r'(x) = 8\sin \left(4x+20\right)\cos \left(4x+20\right) = 4 \sin (8x+40) \)

Más Enlaces y Referencias

  1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. diferenciación y derivadas
  3. Resolver Problemas de Tasa de Cambio en Cálculo
  4. Resolver Problemas de Rectas Tangentes en Cálculo
  5. Página de Inicio