Se presenta la regla de la cadena de la diferenciación de funciones en cálculo junto con varios ejemplos, soluciones detalladas y comentarios. También se incluyen ejercicios con respuestas.
Regla de la cadena de la diferenciación
Sea \( f(x) = (g \circ h)(x) = g(h(x)) \) la composición de dos funciones. Sea \( u = h(x) \). Usando esta sustitución, la función \( f \) se puede escribir como:
\[ f(x) = g(u) \]La derivada \( f' \) de \( f \) con respecto al valor \( x \) está dada por la regla de la cadena de la diferenciación [1]:
Ejemplos que utilizan la regla de la cadena de la diferenciación
A continuación presentamos varios ejemplos de aplicaciones de la regla de la cadena.
Ejemplos Resueltos: Soluciones Paso a Paso
Ejemplo 1
Encuentra la derivada \( f'(x) \) dada:
\[ f(x) = 4 \cos (5x - 2) \]Solución al Ejemplo 1:
Sea \( u = 5x - 2 \) y \( f(u) = 4 \cos u \), por lo tanto:
\[ \dfrac{du}{dx} = 5 \quad \text{y} \quad \dfrac{df}{du} = -4 \sin u \]Ahora usamos la regla de la cadena:
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = -4 \sin(u) \cdot 5 \]Sustituye \( u = 5x - 2 \) de vuelta en la expresión:
\[ f'(x) = -20 \sin (5x - 2) \]Ejemplo 2
Encuentra la derivada \( f'(x) \) dada:
\[ f(x) = (x^3 - 4x + 5)^4 \]Solución al Ejemplo 2:
Sea \( u = x^3 - 4x + 5 \) y \( f(u) = u^4 \), lo que da:
\[ \dfrac{du}{dx} = 3x^2 - 4 \quad \text{y} \quad \dfrac{df}{du} = 4u^3 \]Uso de la regla de la cadena:
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = (4u^3)(3x^2 - 4) \]Sustituye \( u = x^3 - 4x + 5 \) de vuelta:
\[ f'(x) = 4(x^3 - 4x + 5)^3 (3x^2 - 4) \]Ejemplo 3
Encuentra \( f'(x) \) dada:
\[ f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 1} \]Solución al Ejemplo 3:
Sea \( u = x^2 + 2x - 1 \) y \( f(u) = \sqrt{u} \), lo que da:
\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 2 \quad \text{y} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \]Usa la regla de la cadena:
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} (2x + 2) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]Factoriza 2 en el numerador y el denominador y simplifica:
\[ f'(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1}} \]Ejemplo 4
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada:
\[ f(x) = \sin^2 (2x + 3) \]Solución al Ejemplo 4:
Sea \( u = \sin (2x + 3) \) y \( f(u) = u^2 \), lo que da:
\[ \dfrac{du}{dx} = 2 \cos(2x + 3) \quad \text{y} \quad \dfrac{df}{du} = 2u \]El uso de la regla de la cadena conduce a:
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = 2u \cdot 2 \cos(2x + 3) = 4 \sin (2x + 3) \cos (2x + 3) \]Usa la identidad trigonométrica \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) para simplificar:
\[ f'(x) = 2 \sin (4x + 6) \]Ejemplo 5
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada:
\[ f(x) = \ln(x^2 + x) \]Solución al Ejemplo 5:
Sea \( u = x^2 + x \) y \( f(u) = \ln u \), por lo tanto:
\[ \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \quad \text{y} \quad \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u} \]Usa la regla de la cadena y vuelve a sustituir \( u = x^2 + x \):
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} (2x + 1) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x} \]Ejercicios sobre la regla de la cadena de la diferenciación
Problemas de práctica y respuestas
Usa la regla de la cadena para encontrar la primera derivada de cada una de las funciones:
- \( f(x) = \cos (3x - 3) \)
- \( l(x) = (3x^2 - 3x + 8)^4 \)
- \( m(x) = \sin \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
- \( t(x) = \sqrt{3x^2 - 3x + 6} \)
- \( r(x) = \sin^2 (4x + 20) \)
Respuestas a los ejercicios anteriores
- \( f'(x) = -3 \sin (3x - 3) \)
- \( l'(x) = 12(2x - 1)(3x^2 - 3x + 8)^3 \)
- \( m'(x) = -\dfrac{1}{(x - 2)^2} \cos \left(\dfrac{1}{x-2}\right) \)
- \( t'(x) = \dfrac{6x - 3}{2\sqrt{3x^2 - 3x + 6}} \)
- \( r'(x) = 8\sin(4x+20)\cos(4x+20) = 4\sin(8x+40) \)
Más enlaces y referencias
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Descripción general de la diferenciación y derivadas
- Resolver problemas de tasas de cambio en cálculo
- Resolver problemas de líneas tangentes en cálculo
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