Usa la regla de la cadena de diferenciación en cálculo

La regla de la cadena de diferenciación de funciones en cálculo es presentado junto con varios ejemplos y soluciones detalladas y comentarios También en este sitio, Calculadora paso a paso para buscar derivados utilizando la regla de la cadena

Sea f(x) = (g o h) (x) = g (h(x)) e u = g(x)

Deje y = f(u); se da la derivada de f con respecto a x, f '(x) por:

f '(x) = (dy / du) (du / dx)


Ahora presentamos varios ejemplos de aplicaciones de la regla de la cadena.

Ejemplo 1: Encuentre la derivada f '(x), si f está dada por

f(x) = 4 cos (5x - 2)


Solución al Ejemplo 1

  • Déjalo u = 5x - 2 e y = 4 cos u, por lo tanto,

        du / dx = 5 e dy / du = - 4 sin u

  • Ahora usamos la regla de la cadena

        f '(x) = (dy / du) (du / dx) = - 4 sin(u) (5)

  • Ahora sustituimos u = 5x - 2 en sin(u) arriba para obtener

        f '(x) = - 20 sin (5x - 2)



Ejemplo 2: Encuentre la derivada f '(x), si f está dada por

f(x) = (x 3 - 4x + 5) 4


Solución al Ejemplo 2

  • Let u = x 3 - 4x + 5 e y = u 4 , por lo tanto,

        du / dx = 3 x 2 - 4 e dy / du = 4 u 3

  • Usa la regla de la cadena

        f '(x) = (dy / du) (du / dx) = (4 u 3 ) (3 x 2 - 4)

  • Ahora sustituimos u = x 3 - 4x + 5 arriba para obtener

        f '(x) = 4 (x 3 - 4x + 5) 3 (3 x 2 - 4)

Ejemplo 3: Encuentra f '(x), si f está dada por

f (x) = √(x 2 + 2x -1)


Solución al Ejemplo 3

  • Let u = x 2 + 2x -1 yy = √(u), por lo tanto,

        du / dx = 2x + 2 y dy / du = 1 / (2 √(u))

  • Usa la regla de la cadena

        f '(x) = (dy / du) (du / dx) = [1 / (2 √(u))] (2x + 2)

  • Sustituya u = x 2 + 2x -1 arriba para obtener

        f '(x) = (2x + 2) [ 1 / (2 √(x 2 + 2x -1)) ]

  • Factor 2 en numerador y denominador y simplificar

        f '(x) = (x + 1) / (√(x 2 + 2x -1))

Ejemplo 4: Encuentra la primera derivada de f si f está dada por

f(x) = sin 2 (2x + 3)


Solución al Ejemplo 4

  • Let u = sin(2x + 3) e y = u 2 , por lo tanto,

        du / dx = 2 cos (2x + 3) y dy / du = 2 u

  • Usa la regla de la cadena

        f '(x) = (dy / du) (du / dx) = 2 u 2 cos (2x + 3)

  • Sustituye u = sin(2x + 3) de arriba a obtener

        f '(x) = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

  • Usa la función trigonométrica fromula sin (2x) = 2 sinx cos x para simplificar f '(x)

        f '(x) = 2 sin (4x + 6)


Ejercicios: Encuentra la primera derivada de cada una de las funciones.

1 - f(x) = cos (3x -3)

2 - l(x) = (3x
2 -3x + 8) 4

3 - m(x) = sin [ 1 / (x - 2)]

4 - t(x) = sqrt (3x
2 - 3x + 6)

5 - r(x) = sin
2 (4x + 20)

Soluciones para los ejercicios anteriores

1 - f '(x) = -3 sin (3x -3)

2 - l(x) = 12 (2x - 1) (3x
2 -3x + 8) 3

3 - m(x) = -1 / (x - 2)
2 cos [ 1 / (x - 2)]

4 - t(x) = (3/2)(2x - 1) / sqrt (3x
2 - 3x + 6)

5 - r(x) = 4 sin (8x + 4)

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