Encuentra la primera derivada de \( y = u^v \) mostrando todos los pasos.
Derivada de \( u^v \)
Nota que en general, una función de la forma \( y = u^v \), donde \( u \) y \( v \) son funciones, no es ni una función potencia de la forma \( x^k \) ni una función exponencial de la forma \( b^x \), y por lo tanto las fórmulas comunes de diferenciación no se pueden aplicar directamente. Aquí sugerimos un método para encontrar la primera derivada de una función de la forma \( y = u^v \) donde \( u \) y \( v \) son funciones cuyas derivadas existen.
Dada:
\[ y = u^v \]Toma el logaritmo natural (\( \ln \)) de ambos lados:
\[ \ln y = \ln (u^v) \]Usa la propiedad de las funciones logarítmicas \( \ln(u^v) = v \ln u \) en el lado derecho:
\[ \ln y = v \ln u \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \), usando la regla de la cadena y la regla del producto:
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]Multiplica ambos lados por \( y \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]Sustituye \( y \) de vuelta con \( u^v \) para obtener la fórmula de la respuesta final:
Ejercicios y Respuestas
Problemas de Práctica y Soluciones
Encuentra la primera derivada de:
- \( y = (x+3)^{x - 2} \)
- \( y = (x^2+2)^{\ln x + 1} \)
Respuestas a los ejercicios anteriores:
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x+3)^{x - 2} \left( \ln (x+3) + \dfrac{x - 2}{x+3} \right) \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x^2+2)^{\ln x + 1} \left( \dfrac{1}{x} \ln (x^2+2) + (\ln x + 1) \dfrac{2x}{x^2+2} \right) \)