Encuentra la primera derivada de \( y = u^v \) mostrando todos los pasos.
Nota: en general, una función de la forma \( y = u^v \), donde \( u \) y \( v \) son funciones, no es ni una función potencia de la forma \( x^k \) ni una función exponencial de la forma \( b^x \), y por lo tanto las fórmulas comunes de
diferenciación pueden no ser aplicables. Aquí sugerimos un método para encontrar la primera derivada de una función de la forma \( y = u^v \) donde \( u \) y \( v \) son funciones cuyas derivadas existen.
Dada \[ y = u^v \]
Toma el \( \ln \) de ambos lados de lo anterior
\[ \ln y = \ln (u^v) \]
Usa las propiedades de las funciones logarítmicas \( \ln u^v = v \ln u \; \) en el lado derecho de la ecuación anterior y obtén
\[ \ln y = v \ln u \]
Diferencia ambos lados de lo anterior con respecto a \( x \), usando la regla de la cadena y la regla del producto.
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]
Multiplica ambos lados por \( y \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]
Sustituye \( y \) por \( u^v \) para obtener la respuesta final
\[ \boxed {\dfrac{dy}{dx} = u^v \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) } \]
Encuentra la primera derivada de