Encuentre la derivada de f(x) = arcsin(sin (x)) y grábela

Un tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de f(x) = arcsin(sin (x) ) y grafica f e f' para x en R.

Como el dominio de f es R y sin (x) es periódico, entonces f(x) = arcsin (sin(x)) también es una función periódica.
A medida que x aumenta de 0 a π/2, sin(x) aumenta de 0 a 1 y arcosin (sin (x)) aumenta de 0 a π/2. De hecho, para x en [0, π/2] arcsin (sin(x)) = x. A medida que x aumenta desde [π/2, 3π/2], sin (x) disminuye de 1 a -1 y arcosin(sin(x)) disminuye de π/2 a - π/2. A medida que x aumenta de 3π/2 a 2π, sin(x) aumenta de -1 a 0 y arcsin (sin(x)) aumenta de 3π/2 a 2π.
Como sin(x) tiene un período de 2π, arcsin(sin(x)) también tiene un período de 2π. El siguiente gráfico muestra los gráficos de arcsin (sin(x)) e sin(x) de 0 a 2π.

El siguiente gráfico muestra los gráficos de arcsin (sin(x)) e sin(x) durante 3 períodos.

Dominio de f: (-∞ , + ∞)
Rango de f: [-π/2 , π/2]
Derivado de f(x) = arcsin(sin (x))

f(x) es una función compuesta e la derivada se calcula utilizando la regla de cadena de la siguiente manera: dejar u = sin (x)
Por lo tanto f(x) = arctan(u(x))
Aplicar la regla de la cadena de diferenciación
f '(x) = du/dx d(arcosin (u))/du = cos (x) * 1 / √(1 - u ² )
= cos(x) * 1 / (1 - sin ² (x))
= cos(x) / √(sin ² (x))
= cos(x) / | cos(x) |
A continuación se muestra arcsin (sin (x)) en rojo y su derivada en azul. Tenga en cuenta que la derivada no está definida para los valores de x para los cuales cos(x) = 0, lo que significa en x = π/2 + k π, donde k es un número entero. Para estos mismos valores de x, arcsin(sin (x)) tiene un valor máximo igual a π/2 o un valor mínimo igual a -π/2.

Tenga en cuenta que aunque arcsin(sin (x)) es continuo para todos los valores de x su derivada no está definida en ciertos valores de x.

More on diferenciación y derivados