Un tutorial sobre cómo encontrar la primera derivada de \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) y graficar \( f \) y \( f' \) para \( x \in \mathbb{R} \).
Dado que el dominio de \( f \) es \( \mathbb{R} \) y \( \sin(x) \) es periódica, entonces \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) también es una función periódica.
A medida que \( x \) aumenta de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \), \( \sin(x) \) aumenta de \( 0 \) a \( 1 \) y \( \arcsin(\sin(x)) \) aumenta de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \). De hecho, para \( x \in [0 , \frac{\pi}{2}] \), \( \arcsin(\sin(x)) = x \). A medida que \( x \) aumenta de \( \frac{\pi}{2} \) a \( \frac{3\pi}{2} \), \( \sin(x) \) disminuye de \( 1 \) a \( -1 \) y \( \arcsin(\sin(x)) \) disminuye de \( \frac{\pi}{2} \) a \( -\frac{\pi}{2} \). A medida que \( x \) aumenta de \( \frac{3\pi}{2} \) a \( 2\pi \), \( \sin(x) \) aumenta de \( -1 \) a \( 0 \) y \( \arcsin(\sin(x)) \) aumenta de \( -\frac{\pi}{2} \) a \( 0 \).
Como \( \sin(x) \) tiene un período de \( 2\pi \), \( \arcsin(\sin(x)) \) también tiene un período de \( 2\pi \). La gráfica a continuación muestra las gráficas de \( \arcsin(\sin(x)) \) y \( \sin(x) \) desde \( 0 \) hasta \( 2\pi \).
La gráfica a continuación muestra las gráficas de \( \arcsin(\sin(x)) \) y \( \sin(x) \) en 3 períodos.
Dominio de \( f \): \( (-\infty , +\infty) \)
Rango de \( f \): \( \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}\right] \)
\( f(x) \) es una función compuesta y la derivada se calcula usando la regla de la cadena de la siguiente manera: Sea \( u = \sin(x) \).
Por lo tanto \( f(x) = \arcsin(u(x)) \).
Aplicamos la regla de la cadena de diferenciación:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \cos(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \]
Sustituyendo \( u = \sin(x) \): \[ f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} = \frac{\cos(x)}{|\cos(x)|} \]
A continuación se muestra \( \arcsin(\sin(x)) \) en rojo y su derivada en azul. Observa que la derivada no está definida para valores de \( x \) donde \( \cos(x) = 0 \), lo que significa en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), donde \( k \) es un número entero. Para estos mismos valores de \( x \), \( \arcsin(\sin(x)) \) tiene un valor máximo igual a \( \frac{\pi}{2} \) o un valor mínimo igual a \( -\frac{\pi}{2} \).
Nota que aunque \( \arcsin(\sin(x)) \) es continua para todos los valores de \( x \), su derivada no está definida en ciertos valores de \( x \).
