Encuentra la Derivada de f(x) = arctan(tan(x)) y grafícala
Un tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de f(x) = arctan(tan(x)) y graficar f y su derivada en su dominio natural.
Gráficas de tan(x) y arctan(tan(x))
f(x) está definida para todos los valores de x en R excepto x = π/2 + k * π, donde k es un entero.
Dado que tan(x) es periódica, entonces f(x) = arctan(tan(x)) también es una función periódica.
A medida que x aumenta de -π/2 a π/2 exclusivo, tan(x) aumenta desde valores infinitamente pequeños (- infinito) hasta valores infinitamente grandes (+ infinito) y arctan(tan(x)) aumenta desde -π/2 hasta π/2 exclusivo ya que tan(x) no está definida en -π/2 y + π/2. De hecho, para x en (-π/2 , π/2), arctan(tan(x)) = x.
Dado que tan(x) tiene un período de π, arctan(tan(x)) también tiene un período de π. La gráfica a continuación muestra las gráficas de arctan(tan(x)) y tan(x) desde -π/2 hasta 3π/2.
Dominio de f: R - {π + k*π/2 , k entero}
Rango de f: (-π/2 , π/2)
La gráfica a continuación muestra las gráficas de arctan(tan(x)).
Derivada de f(x) = arctan(tan(x)) y su Derivada
f(x) es una función compuesta y la derivada se calcula usando la regla de la cadena de la siguiente manera: Sea u = tan(x)
Entonces f(x) = arctan(u(x))
Aplica la regla de la cadena de diferenciación
f '(x) = du/dx d(arctan(u))/du = (1 / cos(x)2) * 1 / (u2 + 1)
= (1 / cos(x)2) * 1 / (tan(x)2(x) + 1)
= 1 , para x diferente de π/2 + k*π/2 donde k es un entero.
A continuación se muestra arctan(tan(x)) en rojo y su derivada en azul. Observa que la derivada es indefinida para valores de x para los cuales cos(x) es igual a 0, lo que significa en x = π/2 + k * π, donde k es un entero. Observa que f(x) es indefinida para estos mismos valores de x.
