Tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) y graficar \( f \) y \( f' \) en su dominio natural.
Gráficas de \( \tan(x) \) y \( \arctan(\tan(x)) \)
\( f(x) \) está definida para todos los valores \( x \in \mathbb{R} \) excepto \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \), donde \( k \) es un entero.
Dado que \( \tan(x) \) es periódica, \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) también es una función periódica.
A medida que \( x \) aumenta de \( -\frac{\pi}{2} \) a \( \frac{\pi}{2} \) (exclusivo), \( \tan(x) \) aumenta desde valores muy pequeños (\(-\infty\)) hasta valores muy grandes (\(+\infty\)), y \( \arctan(\tan(x)) \) aumenta de \( -\frac{\pi}{2} \) a \( \frac{\pi}{2} \) (exclusivo), ya que \( \tan(x) \) no está definida en \( -\frac{\pi}{2} \) y \( \frac{\pi}{2} \). De hecho, para \( x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), tenemos \( \arctan(\tan(x)) = x \).
Dado que \( \tan(x) \) tiene un período de \( \pi \), \( \arctan(\tan(x)) \) también tiene un período de \( \pi \). La gráfica a continuación muestra las gráficas de \( \arctan(\tan(x)) \) y \( \tan(x) \) desde \( -\frac{\pi}{2} \) hasta \( \frac{3\pi}{2} \).
Dominio de \( f \): \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
Rango de \( f \): \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
La gráfica a continuación muestra las gráficas de \( \arctan(\tan(x)) \) a lo largo de tres períodos.
Derivada de \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) y su gráfica
\( f(x) \) es una función compuesta, y su derivada se calcula utilizando la regla de la cadena de la siguiente manera:
Sea \( u = \tan(x) \), por lo tanto \( f(x) = \arctan(u(x)) \).
Aplica la regla de la cadena de la diferenciación:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{u^2 + 1} \]Sustituye \( u = \tan(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \]Dado que \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \):
A continuación se muestra \( \arctan(\tan(x)) \) en rojo y su derivada en azul. Nota que la derivada no está definida para los valores de \( x \) en los cuales \( \cos(x) = 0 \), es decir, en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), donde \( k \) es un entero. Asimismo, \( f(x) \) misma no está definida en estos mismos puntos.
