Encuentre la derivada de f(x) = arctan (tan (x)) y grábela

Un tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de f(x) = arctan (tan (x)) y grafica f y f ' en su dominio natural.



f (x) se define para todos los valores x en R, excepto x = π/2 + kπ, donde k es un número entero. Como tan(x) es periódico, entonces f (x) = arctan(tan (x)) también es una función periódica.

A medida que x aumenta de -π/2 a π/2 exclusivo, tan (x) aumenta de valores infinitamente pequeños (- ∞) a valores infinitamente grandes (+ ∞) y arctan(tan(x)) aumenta de - π/2 a π/2 exclusivo ya que tan (x) no está definido en - π/2 y + π/2. De hecho, para x en (- π/2, π/2) arctan(tan(x)) = x.

Como tan (x) tiene un período de π, arctan(tan(x)) también tiene un período de π. El siguiente gráfico muestra los gráficos de arctan (tan (x)) y tan (x) de - π/2 a 3π/2.



Dominio de f: R - {π + kπ/2 , k integer}

Rango de f: (-π/2 , π/2)

El siguiente gráfico muestra los gráficos de arctan(tan(x)).

Gráfico de tan (x) y arctan (tan(x)) durante 3 períodos


Derivado de f (x) = arctan(tan (x))

f (x) es una función compuesta y la derivada se calcula utilizando la
regla de cadena de la siguiente manera: Deje u = tan (x)

Por lo tanto f (x) = arctan (u(x))

Aplicar la regla de la cadena de diferenciación

f '(x) = du / dx d(arctan (u)) / du = (1 / cos (x)
2 ) * 1 / (u 2 ) + 1)

= (1 / cos(x)
2) * 1 / (tan(x)2(x) + 1)

= 1 , para x no es igual a π/2 + k π/2, donde k es un número entero.

A continuación se muestra arctan(tan(x)) en rojo y su derivada en azul. Tenga en cuenta que la derivada no está definida para los valores de x para los cuales cos(x) es igual a 0, lo que significa que en x = π/2 + k π, donde k es un número entero. Tenga en cuenta que f(x) no está definido para estos mismos valores de x.

Gráfico de la derivada de arctan (tan (x))




Más en
diferenciación y derivados