Usar la Definición para Encontrar la Derivada

Definición de la Primera Derivada

Usa la definición de la derivada para diferenciar funciones. Este tutorial se comprende bien si se usa con el cociente diferencial.
\( \)\( \)\( \)\( \)\( \) La derivada \( f ' \) de la función \( f \) se define como
\[ f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
cuando este límite existe. Por lo tanto, para encontrar la derivada a partir de su definición, necesitamos encontrar el límite del cociente diferencial a medida que \( h \) se aproxima a cero.


Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1
Usa la definición de la derivada para encontrar la derivada de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = m x + b \] donde \( m \) y \( b \) son constantes.
Solución al Ejemplo 1
Primero necesitamos calcular el cociente diferencial.
\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h)+b -(mx+b)}{h} \)
Simplificar
\( = \dfrac{m h}{h} = m \)
La derivada \( f '\) está dada por el límite de \( m \) (que es una constante) cuando \( {h\to\ 0} \). Por lo tanto
\( f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\ 0} m = m \)
La derivada de una función lineal \( f(x) = m x + b \) es igual a la pendiente \( m \) de su gráfica que es una recta.



Ejemplo 2
Usa la definición para encontrar la derivada de
\[ f(x) = a x^2 + bx + c \]
Solución al Ejemplo 2
Primero encontramos el cociente diferencial
\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - ( a x^2 + b x + c )}{h} \)
Expandir las expresiones en el numerador y agrupar términos semejantes.
\( = \dfrac{a x^2 + 2 a x h + a h^2 + b x + b h + c - a x^2 - b x - c}{h} \)
Simplificar.
\( = \dfrac{2 a x h + b h + a h^2}{h} = 2 a x + b + a h \)
La derivada de \( f(x) = a x^2 + bx + c \) está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\( f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} (2 a x + b + a h) = 2 a x + b \)



Ejemplo 3
Encuentra la derivada, usando la definición, de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \sin x\]
Solución al Ejemplo 3
Primero calculamos el cociente diferencial
\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} \)
Usa la fórmula trigonométrica para transformar una diferencia sin (x + h) - sin x en el numerador en un producto.
\( \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} = \dfrac{2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h} \)
Reescribe el cociente diferencial como sigue.
\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} \)
La derivada está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\( f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} \)
Usa los teoremas del límite del producto de dos funciones para escribir
\( f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} = \lim_{h\to\ 0} cos [ (2 x + h)/2 ] \times \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} \)
Los límites en el producto anterior están dados por
\( \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] = \cos (2 x / 2) = \cos x \)
y
\( \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} = \lim_{t\to\ 0} \dfrac{\sin (t)}{t} = 1 \)
La derivada de \( f(x) = \sin x \) está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\( f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \cos x \times 1 = \cos x \)



Ejemplo 4
Usa la definición para diferenciar
\[ f(x) = \sqrt x \]


Solución al Ejemplo 4
El cociente diferencial está dado por
\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt x}{h} \)
Multiplica numerador y denominador por \( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} \), expande, agrupa términos semejantes y simplifica.
\( = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt x}{h} \times \dfrac{\sqrt{x + h} + \sqrt x}{\sqrt{x + h} + \sqrt x} \)
Expande y agrupa.
\( = \dfrac{(\sqrt{x+h})^2- (\sqrt x)^2}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt x)} = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt x)} = \dfrac{h}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt x)} \)
Cancela \( h \) y simplifica.
\( = \dfrac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt x} \)
La derivada de \( f(x) = \sqrt x \) está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\( f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt x} = \dfrac {1}{2\sqrt x} \)



Ejemplo 5
Usa la definición para diferenciar
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
Solución al Ejemplo 5
El cociente diferencial está dado por
\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \)
Iguala las dos expresiones racionales en el numerador al mismo denominador y reescribe lo anterior como.
\( = \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h} \)
lo que se simplifica a.
\( = \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)h} \)
\( = \dfrac{-1}{x(x+h)} \)
La derivada de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\( f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2} \)


Más Enlaces y Referencias

cociente diferencial
diferenciación y derivadas
Calculadora de Cociente Diferencial