Use la definición para encontrar derivada

Use la definición para encontrar derivada

Use la definición de la derivada para diferenciar funciones. Este tutorial se entiende bien si se usa con cociente de diferencias y el definición de la derivada.

La derivada f 'de la función f se define como

f '(x) = lim h -->0 [f(x+h) - f(x)] / h


cuando este límite existe Por lo tanto, para encontrar la derivada de su definición, necesitamos encontrar el límite del
cociente de diferencia como h se acerca a cero.

Ejemplo 1: Usa la definición de la derivada para encontrar la derivada de la función f definida por

f(x) = m x + b

Solución al Ejemplo 1

  • Primero necesitamos calcular el cociente de diferencia.

    [ f (x + h) – f(x) ] / h = [ m (x + h) + b – (m x + b) ] / h

    = [ m h ] / h = m

  • La derivada f ' está dado por el límite de m como h --> 0. Por lo tanto

    f '(x) = m

  • La derivada de una función lineal f (x) = m x + b es igual a la pendiente m de su gráfico.

Ejemplo 2: Usa la definición para encontrar la derivada de

f(x) = a x 2 + b x + c

Solución al Ejemplo 2

  • Primero encontramos el cociente de diferencia

    [ f (x + h) – f(x) ] / h =

    [ a(x + h) 2 + b(x + h) + c - ( ax 2 + bx + c ) ] / h

  • Expande las expresiones en el numerador y agrupa los términos similares.

    = [ ax 2 + 2 a x h + a h 2 + bx + bh + c - ax 2 - bx - c] / h

    = [ 2 a x h + bh + a h 2] / h = 2 a x + b + a h

  • El límite de 2 a x + b + a h as h -->0 is equal to 2 a x + b. Por lo tanto

    f '(x) = 2 a x + b

Ejemplo 3: Encuentre la derivada, usando la definición, de la función f dada por

f(x) = sin x

Solución al Ejemplo 3

  • Primero calculamos el cociente de diferencia

    [ f (x + h) – f(x) ] / h =

    [ sin (x + h) - sin x ] / h

  • Use the fórmula trigonométrica para transformar una diferencia de sin(x + h) - sin x en un producto.

    [ sin (x + h) - sin x ] / h = 2 cos [ (2 x + h)/2 ] sin (h/2) / h

  • Reescribe el cociente de diferencia anterior de la siguiente manera.

    [ f (x + h) – f(x) ] / h = cos [ (2 x + h)/2 ] sin (h/2) / [ h / 2 ]

  • As h -->0, sin (h/2) / [ h / 2 ]-->1 and cos [ (2 x + h)/2 ] --> cos (2x /2) = cos x. Por lo tanto, la derivada de sin x es cos x

    f '(x) = cos x

Ejemplo 4: usa la definición para diferenciar

f(x) = √x

Solución al Ejemplo 4

  • El cociente de diferencia está dado por

    [ f (x + h) – f(x) ] / h =

    [ √(x + h) - √x ] / h

  • Multiplica el numerador y el denominador por [√(x + h) + √x], expande, agrupa términos similares y simplifica.

    = [ √(x + h) - √ x ][ √ (x + h) + √ x ] / [ h ( √ (x + h) + √ x ) ]

    = h / [ h ( √ (x + h) + √ x ) ]

    = 1 / [ √ (x + h) + √ x ]

  • As h -->0, 1 / [ √ (x + h) + √ x ] --> 1 / [ 2 √ (x) ] . De ahí la derivada de √ x es 1 / [2 √x]

    f '(x) = 1 / [2 √ x]



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diferenciación y derivados





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