Usa la definición para encontrar la derivada

Primero necesitamos calcular el cociente de diferencias:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h) + b - (mx + b)}{h} \]

Simplifica:

\[ = \dfrac{mh}{h} = m \]

La derivada \( f' \) está dada por el límite de \( m \) (que es una constante) cuando \( h \to 0 \). Por lo tanto:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} m = m \]

La derivada de una función lineal \( f(x) = mx + b \) es igual a la pendiente \( m \) de su gráfica, que es una línea.

Primero encontramos el cociente de diferencias:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]

Expande las expresiones en el numerador y agrupa términos semejantes:

\[ = \dfrac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]

Simplifica:

\[ = \dfrac{2axh + bh + ah^2}{h} = 2ax + b + ah \]

La derivada de \( f(x) = ax^2 + bx + c \) está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} (2ax + b + ah) = 2ax + b \]

Primero calculamos el cociente de diferencias:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]

Usa la fórmula trigonométrica para transformar una diferencia \( \sin(x + h) - \sin x \) en el numerador en un producto:

\[ \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \]

Reescribe el cociente de diferencias anterior de la siguiente manera:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]

La derivada está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]

Usa los teoremas del límite del producto de dos funciones para escribir:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]

Los límites en el producto anterior están dados por:

\[ \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) = \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = \cos x \]

y

\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(t)}{t} = 1 \]

Por lo tanto, la derivada de \( f(x) = \sin x \) es:

\[ f'(x) = \cos x \times 1 = \cos x \]

El cociente de diferencias está dado por:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \]

Multiplica el numerador y el denominador por \( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \), expande, agrupa términos semejantes y simplifica:

\[ = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \dfrac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{(\sqrt{x+h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \] \[ = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]

La derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \) está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

El cociente de diferencias está dado por:

\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \]

Coloca las dos expresiones racionales del numerador con el mismo denominador y reescribe:

\[ = \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \] \[ = \dfrac{-h}{x(x+h)h} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \]

La derivada de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2} \]