Utiliza la definición de derivada para diferenciar funciones. Este tutorial se entiende mejor si se usa junto con el
cociente de diferencias.
La derivada \( f' \) de la función \( f \) se define como
\[
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
cuando este límite existe. Por lo tanto, para encontrar la derivada a partir de su definición, necesitamos encontrar el límite del cociente de diferencias cuando \( h \) tiende a cero.
Ejemplo 1
Usa la definición de derivada para encontrar la derivada de la función \( f \) definida por
\[
f(x) = m x + b
\]
donde \( m \) y \( b \) son constantes.
Solución al Ejemplo 1
Primero necesitamos calcular el cociente de diferencias.
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h)+b -(mx+b)}{h}
\]
Simplificar
\[
= \dfrac{m h}{h} = m
\]
La derivada \( f' \) está dada por el límite de \( m \) (que es una constante) cuando \( {h\to\ 0} \). Por lo tanto,
\[
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\ 0} m = m
\]
La derivada de una función lineal \( f(x) = m x + b \) es igual a la pendiente \( m \) de su gráfica, que es una línea.
Ejemplo 2
Usa la definición para encontrar la derivada de
\[
f(x) = a x^2 + bx + c
\]
Solución al Ejemplo 2
Primero encontramos el cociente de diferencias
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - ( a x^2 + b x + c )}{h}
\]
Expande las expresiones en el numerador y agrupa términos semejantes.
\[
= \dfrac{a x^2 + 2 a x h + a h^2 + b x + b h + c - a x^2 - b x - c}{h}
\]
Simplifica.
\[
= \dfrac{2 a x h + b h + a h^2}{h} = 2 a x + b + a h
\]
La derivada de \( f(x) = a x^2 + bx + c \) está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto,
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} (2 a x + b + a h) = 2 a x + b
\]
Ejemplo 3
Encuentra la derivada, usando la definición, de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \sin x\]
Solución al Ejemplo 3
Primero calculamos el cociente de diferencias
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h}
\]
Usa la fórmula trigonométrica para transformar la diferencia \( \sin (x + h) - \sin x \) en el numerador en un producto.
\[
\dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} = \dfrac{2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\]
Reescribe el cociente de diferencias anterior de la siguiente manera.
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\]
La derivada está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto,
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\]
Usa los teoremas del límite del producto de dos funciones para escribir
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} = \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] \times \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2}
\]
Los límites en el producto anterior son
\[ \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] = \cos (2 x / 2) = \cos x \]
y
\[ \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} = \lim_{t\to\ 0} \dfrac{\sin (t)}{t} = 1 \]
La derivada de \( f(x) = \sin x \) está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto,
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \cos x \times 1 = \cos x
\]
Ejemplo 4
Usa la definición para diferenciar
\[ f(x) = \sqrt x \]
Solución al Ejemplo 4
El cociente de diferencias está dado por
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt x}{h}
\]
Multiplica el numerador y el denominador por \( \sqrt{x + h} + \sqrt{x} \), expande, agrupa términos semejantes y simplifica.
\[
= \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt x}{h} \times \dfrac{\sqrt{x + h} + \sqrt x}{\sqrt{x + h} + \sqrt x}
\]
Expande y agrupa.
\[
= \dfrac{(\sqrt{x+h})^2- (\sqrt x)^2}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt x)} = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt x)} = \dfrac{h}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt x)}
\]
Cancela \( h \) y simplifica.
\[
= \dfrac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt x}
\]
La derivada de \( f(x) = \sqrt x \) está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto,
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt x} = \dfrac{1}{2\sqrt x}
\]
Ejemplo 5
Usa la definición para diferenciar
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
Solución al Ejemplo 5
El cociente de diferencias está dado por
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}
\]
Pon las dos expresiones racionales en el numerador con el mismo denominador y reescribe lo anterior como:
\[
= \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}
\]
que se simplifica a:
\[
= \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\]
\[
= \dfrac{-1}{x(x+h)}
\]
La derivada de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) está dada por el límite del cociente de diferencias. Por lo tanto,
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2}
\]