Se presentan ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo encontrar la derivada (Diferenciación) de una función inversa. También se incluyen más ejercicios con respuestas.
Fórmula (teorema) de la derivada de la función inversa
Sea \( f \) una función y \( f^{-1} \) su inversa. Una de las propiedades fundamentales de las funciones inversas es que:
\[ f(f^{-1}(x)) = x \]Sea \( y = f^{-1}(x) \), de modo que:
\[ f(y) = x \]Diferencia ambos lados utilizando la regla de la cadena en el lado izquierdo:
\[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \]Despeja \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{df}{dy}} \]lo cual también se puede escribir como:
donde \( f' \) es la primera derivada de \( f \).
Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de la inversa de la función \( f \) dada por:
\[ f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \]Solución al Ejemplo 1 (Haz clic para ver los métodos)
Presentamos dos métodos para responder a la pregunta anterior. En el primer método calculamos la función inversa y luego su derivada. En el segundo método, utilizamos la fórmula desarrollada anteriormente.
Método 1: Función inversa explícita
El primer método consiste en encontrar la inversa de la función \( f \) y diferenciarla. Para encontrar la inversa de \( f \), primero la escribimos como una ecuación:
\[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \]Despeja \( x \):
\[ x = 2y + 2 \]Intercambia \( x \) y \( y \) para obtener la inversa:
\[ y = f^{-1}(x) = 2x + 2 \]La derivada de la función inversa es:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = 2 \]Método 2: Utilizando la fórmula del teorema de la función inversa
Dada \( f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \), por lo tanto:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]Sustituye \( f' \) por \( \dfrac{1}{2} \) en la fórmula \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \):
\[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]Nota que el primer método solo se puede usar si podemos encontrar la función inversa explícitamente.
Ejemplo 2
Encuentra la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y = \arcsin x \).
Solución al Ejemplo 2 (Haz clic para ver la solución)
\( \arcsin x \) es la función inversa de \( \sin x \) y por lo tanto:
\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]Dada \( y = \arcsin x \). Toma el seno de ambos lados:
\[ \sin y = \sin(\arcsin x) \]Simplifica usando (I):
\[ \sin y = x \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \), utilizando la regla de la cadena en el lado izquierdo:
\[ \dfrac{dy}{dx} \cos y = 1 \]Despeja \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]Realiza la sustitución \( y = \arcsin x \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)} \qquad (II) \]Simplifica \( \cos(\arcsin x) \) utilizando la identidad trigonométrica \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \):
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)} \]Simplifica utilizando la propiedad de las funciones inversas \( \sin(\arcsin x) = x \):
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} \]Sustituye de nuevo en (II) para obtener la respuesta final:
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin x)}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]Nota que el resultado anterior se podría haber obtenido utilizando el teorema de la fórmula, pero aquí hemos mostrado cómo encontrar la derivada de la inversa sin recordar la fórmula.
Ejercicios
Problemas de práctica y soluciones
Encuentra la derivada de la inversa de cada función dada a continuación:
- \( f(x) = 3x - 4 \)
- \( g(x) = \arccos x \)
- \( h(x) = \arctan x \)
Respuestas a los ejercicios anteriores
- \( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)
- \( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \)