Derivado de la función inversa

Ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo encontrar el derivado ( Diferenciación ) de un función inversa , en cálculo, se presentan.

Ejemplo 1: Encuentre la derivada dy/dx del inverso de la función f definida por

f (x) = (1/2) x - 1


Solución al Ejemplo 1:

Presentamos dos métodos para responder la pregunta anterior

Método 1:

  • El primer método consiste en encontrar el inverso de f y diferenciarlo. Para encontrar el inverso de f, primero lo escribimos como una ecuación

    • y = (1/2) x - 1

  • Resuelve para x.

    x = 2y + 2.

  • intercambiar x e y.

    y = 2x + 2.

  • Lo anterior da la función inversa de f. Vamos a encontrar la derivada

    dy / dx = 2



Método 2:

  • El segundo método comienza con una de las propiedades más importantes de las funciones inversas.

    f(f -1(x)) = x

  • Deje y = f -1 (x) para que.

    f(y) = x.

  • Diferenciar ambos lados usando la regla de la cadena hacia el lado izquierdo.

    (dy/dx)(df/dy) = 1.

  • Resuelve lo anterior para dy/dx

    dy / dx = 1 / (df / dy)

  • f is defined by

    f(x)= (1/2) x - 1 , por lo tanto f(y) = (1/2)y - 1

  • así que eso df / dy = 1/2

  • Sustituya df/dy por 1/2 en dy/dx = 1 / (df/dy) para obtener

    dy / dx = 1 / (1/2) = 2
El primer método se puede usar solo si podemos encontrar explícitamente la función inversa.

 Ejemplo 2: Encuentre la derivada dy/dx donde y = arcsin x.

Solución al Ejemplo 2:

  • arcsin x es la función inversa de sin x e

    sin(arcsin(x)) = x

  • y = arcsin x así que eso

    sin y = x

  • Diferenciar ambos lados de la ecuación anterior, con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado izquierdo.

    dy/dx cos y = 1

  • Resuelve lo anterior para dy/dx.

    dy/dx = 1 / cos y

    = 1 / cos ( arcsin x)

    = 1 / √(1 - sin 2(arcsin x))

    = 1 / √ (1 - x 2)


Ejercicios: Encuentre la derivada de la inversa de cada función.

A) f(x) = 3x - 4

B) g(x) = arccos x

C) h(x) = arctan x

soluciones a los ejercicios anteriores

A) (f -1) ' (x) = 1 / 3

B) (g -1) ' (x) = -1 / √(1 - x 2)

C) (h -1) ' (x) = 1 / (1 + x 2)

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