Se presentan las demostraciones de las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas junto con varios otros ejemplos que involucran sumas, productos y cocientes de funciones. También se incluye otro método para encontrar la derivada de funciones inversas que se puede utilizar.
Demostraciones y fórmulas para las derivadas trigonométricas inversas
1. Derivada de \( y = \arcsin(x) \)
Sea \( y = \arcsin(x) \), lo cual se puede escribir como \( x = \sin(y) \).
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d(\sin(y))}{dx} \implies 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]Utilizando la identidad trigonométrica \( \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \), obtenemos:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]2. Derivada de \( \arccos(x) \)
Sea \( y = \arccos(x) \), lo cual se puede escribir como \( x = \cos(y) \).
Diferenciando ambos lados con respecto a \( x \):
\[ 1 = -\sin(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sin(y)} \]Dado que \( \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \), obtenemos:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]3. Derivada de \( \arctan(x) \)
Sea \( y = \arctan(x) \), lo cual se puede escribir como \( x = \tan(y) \).
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ 1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y)} = \cos^2(y) \]Utilizando la identidad \( \cos^2(y) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \), obtenemos:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}} \]4. Derivada de \( \text{arccot}(x) \)
Sea \( y = \text{arccot}(x) \), lo cual se puede escribir como \( x = \cot(y) \).
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ 1 = -\csc^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc^2(y)} = -\sin^2(y) \]Dado que \( \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \), obtenemos:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{1 + x^2}} \]5. Derivada de \( \text{arcsec}(x) \)
Sea \( y = \text{arcsec}(x) \), lo cual se puede escribir como \( x = \sec(y) \).
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ 1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y)} \]Utilizando \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \), obtenemos:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]6. Derivada de \( \text{arccsc}(x) \)
Sea \( y = \text{arccsc}(x) \), lo cual se puede escribir como \( x = \csc(y) \).
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ 1 = -\csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc(y) \cot(y)} \]Utilizando \( \cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \), obtenemos:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]Ejemplos con soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la primera derivada de:
\[ f(x) = x \arcsin x \]Solución al Ejemplo 1
Sea \( h(x) = x \) y \( g(x) = \arcsin x \). La función \( f \) se considera como el producto de las funciones \( h \) y \( g \): \( f(x) = h(x)g(x) \).
Utiliza la regla del producto de la diferenciación: \( f'(x) = h(x)g'(x) + g(x)h'(x) \):
\[ f'(x) = x \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) + \arcsin x \cdot 1 \] \[ = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \]Ejemplo 2
Encuentra la primera derivada de:
\[ f(x) = \arctan x + x^2 \]Solución al Ejemplo 2
Sea \( g(x) = \arctan x \) y \( h(x) = x^2 \). La función \( f \) puede considerarse como la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Por lo tanto, utilizamos la regla de la suma, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \):
\[ f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \] \[ = \dfrac{1 + 2x(1 + x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \]Ejemplo 3
Encuentra la primera derivada de:
\[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]Solución al Ejemplo 3
Sea \( u(x) = 2x + 2 \), de modo que la función \( f \) es la composición \( f(x) = \arcsin(u(x)) \). Utiliza la regla de la cadena, \( f'(x) = \dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \):
\[ f'(x) = 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]Sustituye \( u = 2x + 2 \):
\[ = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \]