A continuación se presentan las demostraciones de las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, junto con varios otros ejemplos que involucran sumas, productos y cocientes de funciones. También se incluye y se puede utilizar otro método para encontrar la derivada de funciones inversas.
Sea
\[ y = \arcsin(x) \]que puede escribirse como
\[ x = \sin(y) \]Derivar ambos lados de lo anterior con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d (\sin(y))} {dx} \]Simplificar el lado izquierdo y usar la regla de la cadena en el lado derecho:
\[ 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \]Lo anterior da:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]La identidad trigonométrica \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1\) da:
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} \]De lo anterior, tenemos \( x = \sin(y) \), por lo tanto:
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \]Sustituir \( \cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \) en \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \) para obtener:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]Por lo tanto:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]Sea
\[ y = \arccos(x) \]que puede escribirse como:
\[ x = \cos(y) \]La derivación de ambos lados de lo anterior, con respecto a \( x \) usando la regla de la cadena en el lado derecho, da:
\[ 1 = - \sin(y) \dfrac{dy}{dx} \]Lo anterior da:
\[ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sin(y) } \]La identidad trigonométrica \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1\) da:
\[ \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2 (y)} \]Usar \( x = \cos(y)\) de arriba para escribir:
\[ \sin(y) = \sqrt{1 - x^2} \]Sustituir \( \sin y \) en \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sin(y) } \) para obtener:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]Sea
\[ y = \arctan(x) \]que puede escribirse como:
\[ x = \tan(y) \]Derivamos ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado derecho, para obtener:
\[ 1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx} \]Lo anterior da:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y) } = \cos^2(y) \]Ahora usamos la identidad trigonométrica:
\[ \cos^2(y) = \dfrac{1}{1+\tan^2(y)} \]y \( x = \tan(y) \) de arriba para expresar \( \cos^2(y) \) en términos de x de la siguiente manera:
\[ \cos^2(y) = \dfrac{1}{1+x^2} \]Sustituir en \( \dfrac{dy}{dx} = \cos^2(y) \) para obtener:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1+x^2 }} \]Sea
\[ y = \text{arccot}(x) \]que puede escribirse como:
\[ x = \cot(y) \]Derivar ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado derecho, da:
\[ 1 = - \csc^2(y) \dfrac{dy}{dx} \]Lo anterior da:
\[ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\csc^2(y) } = - \sin^2(y) \]Usar la identidad trigonométrica:
\[ \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} \]y \( x = \cot(y) \) de arriba para expresar \( \sin^2(y) \) en términos de x de la siguiente manera:
\[ \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \]Por lo tanto:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = - \dfrac{1}{1+x^2 }} \]Sea
\[ y = \text{arcsec}(x) \]que puede escribirse como:
\[ x = \sec(y) \]La derivación de ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado derecho, da:
\[ 1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx} \]Lo anterior da:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y) } \]Usar la identidad \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} \) y \( x = \sec(y) \) de arriba para
expresar \( \sec(y) \tan(y) \) en términos de x de la siguiente manera:
\[ \sec(y) \tan(y) = x \sqrt{x^2 - 1} \]Por lo tanto:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1} }} \]Sea
\[ y = \text{arccsc}(x) \]que puede escribirse como:
\[ x = \csc(y) \]La derivación de los lados izquierdo y derecho de lo anterior, usando la regla de la cadena en el lado derecho, da:
\[ 1 = - \csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx} \]Lo anterior da:
\[ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{ \csc(y) \cot(y) } \]Usar la identidad trigonométrica \( \cot y = \sqrt {\csc^2 y - 1} \) y \( x = \csc(y) \) de arriba
para expresar \( \csc(y) \cot(y) \) en términos de x de la siguiente manera:
\[ \csc(y) \cot(y) = \csc(y) \sqrt {\csc^2 y - 1} = x \sqrt{x^2 - 1} \]Por lo tanto:
\[ \Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = - \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1} }} \]Encuentra la primera derivada de \[ f(x) = x \arcsin x \]
Solución al Ejemplo 1:Sean \( h(x) = x \) y \( g(x) = \arcsin x \), la función \( f \) se considera como el producto de las funciones \( h \) y \( g \): \( f(x) = h(x) g(x) \).
Usar la regla del producto de derivación: \( f '(x) = h(x) g '(x) + g(x) h '(x) \), para derivar la función \( f \) de la siguiente manera:
\( f '(x) = x \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \arcsin x \cdot 1 \)
\( = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \)
Encuentra la primera derivada de \[ f(x) = \arctan x + x^2 \]
Solución al Ejemplo 2:Sean \( g(x) = \arctan x \) y \( h(x) = x^2 \), la función \( f \) puede considerarse como la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Por lo tanto, usamos la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para derivar la función \( f \) de la siguiente manera:
\( f '(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \)
\( = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \)
Encuentra la primera derivada de \[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]
Sea \( u(x) = 2x + 2 \), la función \( f \) puede considerarse como la composición \( f(x) = \arcsin(u(x)) \). Por lo tanto, usamos la regla de la cadena, \( f '(x) = \left( \dfrac{du}{dx} \right) \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \), para derivar la función \( f \) de la siguiente manera:
\( f '(x) = 2 \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \right) \)
\( = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \)