Cociente de Diferencias
¿Qué es el cociente de diferencias en cálculo?
Comenzamos con la definición y luego calculamos el cociente de diferencias para diferentes funciones como ejemplos con explicaciones detalladas.
Tenga en cuenta que se incluye una calculadora de cociente de diferencias que puede usarse para verificar resultados y generar práctica adicional.
Definición de Cociente de Diferencias
Sea \( f \) una función cuya gráfica se muestra a continuación.
A y B son puntos en la gráfica de \( f\). Una línea que pasa a través de los dos puntos \( A ( x , f(x)) \) y \( B(x+h , f(x+h)) \) se llama línea secante. La pendiente \( m \) de la línea secante puede calcularse de la siguiente manera:
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x}
\]
Simplifique el denominador para obtener
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
\]
La pendiente \( m \) se llama el cociente de diferencias. Es un concepto muy importante en cálculo donde se usa para definir la derivada de la función \( f \) que, de hecho, define la variación local de una función en matemáticas.
Ejemplos con Soluciones
En los ejemplos a continuación, calculamos y simplificamos los cocientes de diferencias de diferentes funciones.
Ejemplo 1
Encuentre el cociente de diferencias de la función \( f \) definida por
\[f(x) = 2x + 5\]
Solución al Ejemplo 1
Primero necesitamos calcular \( f(x + h) \).
\[
f(x + h) = 2(x + h) + 5
\]
Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en la definición del cociente de diferencias por sus expresiones
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5) }{h}
\]
Simplificamos la expresión anterior.
\[
= \dfrac{2h}{2} = 2
\]
La respuesta es 2, que también es la pendiente de la línea definida por la función \( f \), ¿por qué?
Ejemplo 2
Encuentre el cociente de diferencias de la siguiente función
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]
Solución al Ejemplo 2
Primero calculamos \( f(x + h) \).
\[
f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2
\]
Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en el cociente de diferencias
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h}
\]
Expandimos las expresiones en el numerador y agrupamos términos semejantes.
\[
= \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h + 1
\]
Ejemplo 3
Encuentre el cociente de diferencias de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \sin x \]
y escriba el resultado como un producto.
Solución al Ejemplo 3
Primero calculamos \( f(x + h) \).
\[
f(x + h) = \sin (x + h)
\]
Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en el cociente de diferencias
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h}
\]
Usamos la fórmula trigonométrica que transforma una diferencia \( \quad \sin (x + h) - \sin x \quad \) en un producto.
\[
\sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)
\]
Sustituimos la expresión anterior para \( \sin (x + h) - \sin x \) en el cociente de diferencias para obtener.
\[
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\]
Más Referencias y Enlaces
Calculadora de Cociente de Diferencias
Diferenciación y derivadas
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