Cociente de Diferencias

¿Qué es el cociente de diferencias en cálculo?
Comenzamos con la definición y luego calculamos el cociente de diferencias para diferentes funciones como ejemplos con explicaciones detalladas.
Tenga en cuenta que se incluye una calculadora de cociente de diferencias que se puede usar para verificar resultados y generar más práctica.

\( \)\( \)\( \)\( \)

Definición de Cociente de Diferencias

Sea \( f \) una función cuya gráfica se muestra a continuación.
gráficas de la función f con recta secante

A y B son puntos en la gráfica de \( f\). Una línea que pasa por los dos puntos \( A ( x , f(x)) \) y \( B(x+h , f(x+h)) \) se llama recta secante. La pendiente \( m \) de la recta secante se puede calcular de la siguiente manera:
\[ m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]
Simplifica el denominador para obtener
\[ m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} \]
La pendiente \( m \) se llama el cociente de diferencias. Es un concepto muy importante en cálculo donde se usa para definir la derivada de la función \( f \) que de hecho define la variación local de una función en matemáticas.

Ejemplos con Soluciones

En los ejemplos a continuación, calculamos y simplificamos los cocientes de diferencias de diferentes funciones.

Ejemplo 1

Encuentra el cociente de diferencias de la función \( f \) definida por \[f(x) = 2x + 5\]

Solución al Ejemplo 1

Primero necesitamos calcular \( f(x + h) \).
\( f(x + h) = 2(x + h) + 5 \)
Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en la definición del cociente de diferencias por sus expresiones
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5) }{h} \)
Simplificamos la expresión anterior.
\( = \dfrac{2h}{2} = 2 \)
La respuesta es 2, que también es la pendiente de la recta definida por la función \( f \), ¿por qué?

Ejemplo 2

Encuentra el cociente de diferencias de la siguiente función
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]

Solución al Ejemplo 2

Primero calculamos \( f(x + h) \).
\( f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \)
Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en el cociente de diferencias
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h} \)
Expandimos las expresiones en el numerador y agrupamos los términos semejantes.
\( = \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h +1 \)

Ejemplo 3

Encuentra el cociente de diferencias de la función \( f \) dado por \[ f(x) = \sin x \] y escribe el resultado como un producto.

Solución al Ejemplo 3

Primero calculamos \(f(x + h)\).
\( f(x + h) = \sin (x + h) \)
Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en el cociente de diferencias
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h} \)
Usamos la fórmula trigonométrica que transforma una diferencia \( \quad \sin (x + h) - \sin x \quad \) en un producto.
\( \sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2) \)
Sustituimos la expresión anterior por \( sin (x + h) - sin x \) en el cociente de diferencia anterior para obtener.
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h} \)

Más Referencias y Enlaces

Calculadora de Cociente de Diferencias
diferenciación y derivadas
Cociente de Diferencias