Cociente de diferencias

¿Cuál es el cociente de diferencia en cálculo? Comenzamos con la definición y luego calculamos el cociente de diferencia para diferentes funciones.

Sea f una función cuyo gráfico se muestra a continuación.

gráficos de la función f con línea secante


A e B son puntos en el gráfico de f. Una
línea que pasa por los dos puntos A (x, f(x)) e B (x + h, f(x + h)) se llama línea secante. La pendiente m de la línea secante se puede calcular de la siguiente manera:

m = [ f (x + h) – f(x) ] / [ (x + h) – x ]


Simplifica el denominador para obtener

m = [ f (x + h) – f(x) ] / h


Esta pendiente es muy importante en el cálculo donde se usa para definir la derivada de la función f. Se llama el
cociente de diferencia . En los ejemplos a continuación, calculamos y simplificamos los cocientes de diferencia de diferentes funciones.

Ejemplo 1: Encuentre el cociente de diferencia de la función f definida por

f(x) = 2x + 5

Solución al Ejemplo 1

  • Primero necesitamos calcular f (x + h).

    f(x + h) = 2(x + h) + 5

  • Ahora sustituimos f (x + h) e f (x) en la definición del cociente de diferencia por sus expresiones

    [ f (x + h) – f(x) ] / h = [ 2(x + h) + 5 – (2 x + 5) ] / h

  • Simplificamos la expresión anterior.

    = 2 h / h = 2

  • La respuesta es 2, que también la pendiente de la gráfica de la función f, ¿por qué?

Ejemplo 2: Encuentra el cociente de diferencia de la siguiente función

f(x) = 2x 2 + x - 2

Solución al Ejemplo 2

  • Primero calculamos f (x + h).

    f(x + h) = 2(x + h) 2 + (x + h) - 2

  • Ahora sustituimos f (x + h) y f (x) en el cociente de diferencia

    [ f (x + h) – f(x) ] / h =

    [ 2(x + h) 2 + (x + h) - 2 - ( 2x 2 + x - 2 ) ] / h

  • Expandimos las expresiones en el numerador y agrupamos términos similares.

    = [ 4 x h + 2 h 2 + h] / h = 4 x + 2 h + 1

Ejemplo 3: Encuentra el cociente de diferencia de la función f dado por

f(x) = sin x

Solución al Ejemplo 3

  • Primero calculamos f(x + h).

    f(x + h) = sin (x + h)

  • Ahora sustituimos f (x + h) e f (x) en el cociente de diferencia

    [ f (x + h) – f(x) ] / h =

    [ sin (x + h) - sin x ] / h

  • We use the fórmula trigonométrica que transforma una diferencia de pecado (x + h) - sin x en un producto.

    sin (x + h) - sin x = 2 cos [ (2 x + h)/2 ] sin (h/2)

  • Sustituimos la expresión anterior por sin (x + h) - sen x en el cociente de diferencia anterior para obtener.

    [ f (x + h) – f(x) ] / h = 2 cos [ (2 x + h)/2 ] sin (h/2) / h



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