¿Qué es el cociente de diferencias en cálculo?
Comenzamos con la definición y luego calculamos el cociente de diferencias para diferentes funciones como ejemplos con explicaciones detalladas.
Nota que se incluye una calculadora del cociente de diferencias que se puede utilizar para comprobar resultados y generar práctica adicional.
Definición del cociente de diferencias
Sea \( f \) una función cuya gráfica se muestra a continuación.
\( A \) y \( B \) son puntos en la gráfica de \( f \). Una línea que pasa por los dos puntos \( A(x, f(x)) \) y \( B(x+h, f(x+h)) \) se llama recta secante. La pendiente \( m \) de la recta secante se puede calcular de la siguiente manera:
\[ m = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]Simplifica el denominador para obtener:
La pendiente \( m \) se llama cociente de diferencias. Es un concepto muy importante en cálculo, donde se utiliza para definir la derivada de la función \( f \), la cual a su vez define la variación local de una función en matemáticas.
Ejemplos con soluciones
En los ejemplos siguientes, calculamos y simplificamos los cocientes de diferencias de diferentes funciones.
Ejemplo 1
Encuentra el cociente de diferencias de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = 2x + 5 \]Solución al Ejemplo 1
Primero necesitamos calcular \( f(x + h) \):
\[ f(x + h) = 2(x + h) + 5 \]Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en la definición del cociente de diferencias:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2x + 5)}{h} \]Simplificamos la expresión anterior:
\[ = \dfrac{2h}{h} = 2 \]La respuesta es 2, que es también la pendiente de la línea definida por la función \( f \). ¿Por qué? ¡Porque las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante igual a su pendiente!
Ejemplo 2
Encuentra el cociente de diferencias de la siguiente función:
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]Solución al Ejemplo 2
Primero calculamos \( f(x + h) \):
\[ f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \]Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en el cociente de diferencias:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - (2x^2 + x - 2)}{h} \]Expandimos las expresiones en el numerador y agrupamos términos semejantes:
\[ = \dfrac{2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{4xh + 2h^2 + h}{h} = 4x + 2h + 1 \]Ejemplo 3
Encuentra el cociente de diferencias de la función \( f \) dada por:
\[ f(x) = \sin x \]y escribe el resultado como un producto.
Solución al Ejemplo 3
Primero calculamos \( f(x + h) \):
\[ f(x + h) = \sin(x + h) \]Ahora sustituimos \( f(x + h) \) y \( f(x) \) en el cociente de diferencias:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]Utilizamos la fórmula trigonométrica que transforma una diferencia \( \sin(x + h) - \sin x \) en un producto:
\[ \sin(x + h) - \sin x = 2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]Sustituimos la expresión anterior en el cociente de diferencias para obtener:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]