Calcula las derivadas de varias funciones utilizando diferentes métodos y reglas en cálculo. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Más ejercicios con respuestas se encuentran al final de esta página.
Encuentra la derivada de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = (x^2 - 5)(x^3 - 2x + 3) \]
La función \( f \) es el producto de dos funciones: \( U = x^2 - 5 \) y \( V = x^3 - 2x + 3 \). Por lo tanto, \( f(x) = U V \).
Usamos la regla del producto para diferenciar \( f \): \( f'(x) = U'V + UV' \).
Donde \( U' = 2x \) y \( V' = 3x^2 - 2 \).
Sustituyendo: \( f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2) \).
Expandimos, agrupamos y simplificamos: \[ \begin{align*} f'(x) &= 2x^4 - 4x^2 + 6x + 3x^4 - 15x^2 + 10 \\ &= 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10 \end{align*} \]
Calcula la primera derivada de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = (\sqrt x + 2x)(4x^2-1) \]
Esta función puede considerarse como el producto de \( U = \sqrt x + 2x \) y \( V = 4x^2 - 1 \), por lo que usamos la regla del producto:
\[ f'(x) = U' V + U V' = \left(\dfrac{1}{2\sqrt x} + 2\right)(4x^2-1) + (\sqrt x + 2x)(8x) \]
Para sumar, escribimos todos los términos como fracciones con un denominador común:
\[ f'(x) = \dfrac{(1+4\sqrt x)(4x^2-1) + 2\sqrt x (8x)(\sqrt x + 2x)}{2\sqrt x} \]
Expandimos y agrupamos para obtener el resultado final:
\[ f'(x) = \dfrac{48x^{5/2} + 20x^2 - 4x^{1/2} - 1}{2\sqrt x} \]
Calcula la primera derivada de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{5x - 3} \]
La función dada puede considerarse como el cociente de dos funciones: \( U = x^2 + 1 \) y \( V = 5x - 3 \). Usamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \]
Dado que \( U' = 2x \) y \( V' = 5 \), tenemos:
\[ f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2} \]
Expandimos y agrupamos:
\[ f'(x) = \dfrac{10x^2 - 6x - 5x^2 - 5}{(5x - 3)^2} = \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2} \]
Calcula la primera derivada de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \dfrac{x - \sqrt{x}}{5x^2 - 3} \]
La función \( f \) es el cociente de dos funciones, por lo que usamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)(5x^2 - 3) - (x - \sqrt{x})10x}{(5x^2 - 3)^2} \]
Escribimos todos los términos en el numerador con el denominador común \( 2\sqrt{x} \):
\[ f'(x) = \dfrac{(2\sqrt{x} - 1)(5x^2 - 3) - 2\sqrt{x}(x - \sqrt{x})10x}{2\sqrt{x}(5x^2 - 3)^2} \]
Expandimos y agrupamos términos semejantes:
\[ f'(x) = \dfrac{-10x^{5/2} + 15x^2 - 6\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}(5x^2 - 3)^2} \]
Calcula la primera derivada de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \left( \dfrac{1}{x} - 3 \right) \dfrac{x^2 + 3}{2x - 1} \]
Sea \( U = \dfrac{1}{x} - 3 \) y \( V = \dfrac{x^2 + 3}{2x - 1} \). Entonces \( f(x) = U \cdot V \). Por la regla del producto: \( f'(x) = U' V + U V' \).
Calculamos \( U' = -\dfrac{1}{x^2} \). Para \( V' \), usamos la regla del cociente:
\[ V' = \dfrac{2x(2x - 1) - (x^2 + 3)(2)}{(2x - 1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - 6}{(2x - 1)^2} \]
Sustituyendo en la regla del producto y simplificando con denominador común \( x^2(2x - 1)^2 \), obtenemos:
\[ f'(x) = \dfrac{-6x^4 + 6x^3 + 17x^2 - 12x + 3}{x^2(2x - 1)^2} \]
Calcula la primera derivada de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \sqrt{x} (2x - 1)(x^3 - x) \]
Sea \( U = \sqrt{x} \) y \( V = (2x - 1)(x^3 - x) \). Entonces \( f(x) = U \cdot V \). Por la regla del producto: \( f'(x) = U' V + U V' \).
Calculamos \( U' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \). Para \( V' \), usamos la regla del producto en \( V \):
\[ V' = 2(x^3 - x) + (2x - 1)(3x^2 - 1) \]
Sustituyendo, escribiendo con denominador común \( 2\sqrt{x} \) y simplificando, obtenemos:
\[ f'(x) = \dfrac{18x^4 - 7x^3 - 10x^2 + 3x}{2\sqrt{x}} \]
Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones.
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