Encuentra las derivadas de funciones en cálculo

Ejemplos completos de diferenciación: Reglas de la potencia, del producto, del cociente y de la cadena

Dominar la diferenciación implica aplicar reglas específicas basadas en la estructura de la función. A continuación se presentan ejemplos que cubren la regla de la potencia, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena con soluciones detalladas.

Ejemplos de la regla de la potencia

La regla de la potencia establece que para \( f(x) = x^n \), la derivada es \( f'(x) = nx^{n-1} \).

Ejemplo 7: Encuentra la derivada de \( f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 10 \)

Aplica la regla de la potencia a cada término individualmente:

  • La derivada de \( 4x^5 \) es \( 4(5x^4) = 20x^4 \)
  • La derivada de \( -3x^2 \) es \( -3(2x) = -6x \)
  • La derivada de \( 7x \) es \( 7(1) = 7 \)
  • La derivada de la constante \( -10 \) es \( 0 \)

Solución final: \( f'(x) = 20x^4 - 6x + 7 \)

Ejemplo 8: Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{3}{x^2} + 5\sqrt[3]{x} \)

Reescribe la función utilizando exponentes: \( f(x) = 3x^{-2} + 5x^{1/3} \)

Aplica la regla de la potencia:

\[ f'(x) = 3(-2x^{-3}) + 5(\frac{1}{3}x^{-2/3}) \] \[ f'(x) = -\dfrac{6}{x^3} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

Ejemplos de las reglas del producto y del cociente

Ejemplo 1: \( f(x) = (x^2 - 5)(x^3 - 2x + 3) \) (Regla del producto)

Utilizando \( f'(x) = U'V + UV' \):

\[ f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2) \]

Resultado: \( 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10 \)

Ejemplo 3: \( f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{5x - 3} \) (Regla del cociente)

Utilizando \( f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \):

\[ f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2} \]

Resultado: \( \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2} \)

Ejemplos de la regla de la cadena

La regla de la cadena se utiliza para funciones compuestas: \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Ejemplo 9: Encuentra la derivada de \( f(x) = (4x^3 - 2x)^6 \)

Sea la función "interna" \( u = 4x^3 - 2x \). Entonces \( f(x) = u^6 \).

1. Diferencia la función externa: \( 6u^5 \)

2. Diferencia la función interna: \( u' = 12x^2 - 2 \)

3. Multiplícalas: \( 6(4x^3 - 2x)^5 \cdot (12x^2 - 2) \)

Resultado: \( 12(6x^2 - 1)(4x^3 - 2x)^5 \)

Ejemplo 10: Encuentra la derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)

Reescribe como \( f(x) = (x^2 + 1)^{1/2} \).

\[ f'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) \]

Los números 2 se cancelan, dejando:

\[ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Ejercicios de práctica

Ejercicio 7: \( f(x) = 10x^4 - \pi x + e \) (Regla de la potencia)

Respuesta: \( f'(x) = 40x^3 - \pi \) (Nota: \( e \) es una constante, su derivada es 0).

Ejercicio 8: \( g(x) = (2x+1)^3(x-5)^2 \) (Regla del producto + Regla de la cadena)

Respuesta: \( g'(x) = 3(2x+1)^2(2)(x-5)^2 + (2x+1)^3(2)(x-5) \)

Simplificado: \( 2(2x+1)^2(x-5)[3(x-5) + (2x+1)] = 2(2x+1)^2(x-5)(5x-14) \)

Ejercicio 9: \( h(x) = \sin(x^2) \) (Trigonométrica + Regla de la cadena)

Respuesta: \( h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \)

Lecturas adicionales