Encontrar Derivados de Funciones en Cálculo

Encuentre los derivados de varias funciones usando diferentes métodos y reglas. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Más ejercicios con respuestas se encuentran al final de esta página.

Ejemplo 1: Calcula la derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 1

• La función f es el producto de dos funciones: U = x² - 5 e V = x³ - 2x + 3 . Utilizamos la regla del producto para diferenciar f de la siguiente manera:



• Expandir y agrupar para obtener
  
  

Ejemplo 2: Calcule la primera derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 2:

• Esta función se puede considerar como el producto de la función U = √x + 2x e V = 4x ² - 1, de ahí el uso de la regla del producto
  
  
• Para agregar lo anterior, necesita escribir todos los términos como fracciones con un denominador común.
  
  
• Expandir
  
  
• y grupo para obtener el resultado final para la derivada de f de la siguiente manera.
  
  

Ejemplo 3: Calcula la primera derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 3:

• La función dada se puede considerar como la relación de dos funciones: U = x² + 1 e V = 5x - 3 e usa la regla de cociente para diferenciar f se usa de la siguiente manera
  
  
• Expanda y agrupe para obtener f '(x) de la siguiente manera
  
  

Ejemplo 4: Calcula la primera derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 4:

• La función f es el cociente de dos funciones, por lo tanto, el uso de la regla del cociente
  
  
• Escribe todos los términos en el numerador para que tengan el mismo denominador 2 √x
  
  
• Expande y agrupa términos similares para obtener f '(x)
  
  

Ejemplo 5: Calcula la primera derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 5:

• La función f dada anteriormente se puede considerar como el producto de las funciones U = 1 / x - 3 y V = (x ² + 3) / (2x - 1), y la función V se puede considerar como el cociente de dos funciones x ² + 3 y 2x - 1. Utilizamos la regla del producto para fy la regla del cociente para V de la siguiente manera
  
  
• Establezca todos los términos en un denominador común
  
  
• Expanda y agrupe para obtener la derivada f '.
  
  

Ejemplo 6: Calcula la primera derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 6:

• Hay varias formas de encontrar la derivada de la función f dada anteriormente. Una de ellas es considerar la función f como el producto de la función U = sqrt x y V = (2x - 1) (x ³ - x) y también considerar V como el producto de (2x - 1) ) y (x ³ - x) y aplicar la regla del producto a f y V de la siguiente manera
  
  
• Establece un denominador común para todos los términos
  
  
• Amplíe y agrupe términos similares para obtener la derivada f '.
  
  

Ejemplo 7: Encuentre la derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 7:

• La función dada es de la forma U ⁴ donde U = x ³ + 4. El uso del cadena de regla de diferenciación da f 'de la siguiente manera
  
  
• Calcular U 'y sustituir arriba para obtener f' de la siguiente manera
  
  

Ejemplo 8: Encuentre la derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 8:

• La función f es de la forma U ³ donde U = (x - 1) / (x + 3). Aplique la regla de cadena para obtener f 'de la siguiente manera
  
  
• Calcular U ', usando la regla del cociente, y sustituir para obtener
  
  
• Amplíe y agrupe términos similares para obtener una forma final para la derivada f '
  
  

Ejemplo 9: Encuentre la derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 9:

• La función dada es de la forma sqrt U con U = x ³ + 2 x + 1. Calcule U 'y use la regla de la cadena para obtener
  
  

Ejemplo 10: Encuentre la derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 10:

• La función dada es de la forma U ^3/2 con U = x ² + 5. Aplique la regla de cadena como sigue
  
  
• Calcular U ', sustituir y simplificar para obtener la derivada f'.
  
  

Ejemplo 11: Encuentre la derivada de la función f dada por

Solución al Ejemplo 11:

• La función f es de la forma U ^1/4 con U = (x + 6) / (x + 5). Utilice la regla de cadena para calcular f 'de la siguiente manera
  
  
• Como U es el cociente de dos funciones, use la regla del cociente para encontrar U 'y sustituya para obtener
  
  
• Expandir y agrupar términos similares
  
  
• Cambie el exponente negativo en un exponente positivo para encontrar una forma final de f 'de la siguiente manera
  
  

Ejercicios: Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones.

Respuestas a los ejercicios anteriores: