Diferenciación implícita

Se presentan ejemplos Diferenciación implícitos con soluciones detalladas.

Ejemplo 1: usa la diferenciación implícita para encontrar la derivada dy / dx donde y x + sin y = 1

Solución al Ejemplo 1:

  • Usa la regla de suma de la diferenciación para el término completo a la izquierda de la ecuación dada.

    d [xy] / dx + d [siny] / dx = d[1]/dx .

  • Diferenciar cada término anterior usando la regla del producto a d [xy] / dx y la regla de la cadena a d[siny] / dx.

    x dy / dx + y + (dy / dx) cos(y) = 0 .

  • Tenga en cuenta que al calcular d [siny] / dx, utilizamos la regla de la cadena ya que y es en sí misma una función de x e sin (y) es una función de una función.

  • Resuelva lo anterior para dy / dx para obtener.

    dy / dx = -y / (x + cos y)



Ejemplo 2: usa la diferenciación implícita para encontrar la derivada dy / dx donde y 4 + x y 2 + x = 3

Solución al Ejemplo 2:

  • Usa la diferenciación de una fórmula de suma al lado izquierdo de la ecuación dada.

    d[y 4] / dx + d[x y 2] / dx + d[x] / dx = d[3] / dx

  • Diferenciar cada término anterior utilizando regla de poder, regla de producto y regla de cadena.

    4y 3 dy / dx + (1) y 2 + x 2y dy / dx + 1 = 0

  • Resolver dy/dx.

    dy/dx = (-1 - y 2) / (4y 3 + 2xy)


Ejemplo 3: Encuentra todos los puntos en el gráfico de la ecuación

x 2 + y 2 = 4


donde las líneas tangentes son paralelas a la línea x + y = 2

Solución al Ejemplo 3:

  • Reescriba la línea dada x + y = 2 en forma de intersección de pendiente: y = - x + 2 e identifique la pendiente como m = -1. Las líneas tangentes son paralelas a esta línea y, por lo tanto, su pendiente es igual a -1. La pendiente de las líneas tangentes en un punto se puede encontrar mediante la diferenciación de implicidad de x 2 + y 2 = 4

    2x + 2y dy/dx = 0

  • Deje que P (a, b) sea el punto de tangencia. En el punto P, la pendiente es -1. Sustituyendo x por a, y por b e dy / dx por -1 en la ecuación anterior, obtenemos

    2a + 2b (-1) = 0

  • El punto P (a, b) está en el gráfico de x 2 + y 2 = 4, por lo tanto,

    a 2 + b 2 = 4

  • Resuelve el sistema de ecuaciones: 2a - 2b = 0 e a 2 + b 2 = 4 para obtener dos puntos

    (-√2 , -√2) e (√2 , √2)

Ejercicios Utilice la diferenciación implícita para encontrar dy / dx para cada ecuación que se muestra a continuación.

1:     x e
y = 3

2:     x
2 + y 2 = 20

3:     x sin(xy) = x



soluciones a los ejercicios anteriores

1:     dy/dx = - 1 / x

2:     dy/dx = - x / y

3:     dy/dx = [ 1 - sin(xy) -xy cos(xy) ] / [ x
2 cos(xy)]


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