Se presentan ejemplos de diferenciación implícita con soluciones detalladas.
Explicación de la diferenciación implícita
Cuando se nos da una función \( y \) explícitamente en términos de \( x \), utilizamos las reglas y fórmulas de diferenciación para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \). Como ejemplo, sabemos cómo encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) si \( y = 2x^3 - 2x + 1 \).
Sin embargo, en otras situaciones, en lugar de una función dada explícitamente, se nos da una ecuación que incluye términos en \( y \) y \( x \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \). Por ejemplo, se nos da una ecuación que relaciona \( y \) y \( x \) de la siguiente manera: \( xy + y^2 = 1 \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \).
La idea principal de la diferenciación implícita es diferenciar ambos lados de la ecuación dada con respecto a \( x \) y luego resolver la nueva ecuación obtenida para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \).
Ejemplos de diferenciación implícita
Ejemplo 1
Usa la diferenciación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( yx + \sin y = 1 \)
Solución al Ejemplo 1
Diferencia ambos lados de la ecuación dada y utiliza la regla de la suma de la diferenciación:
\[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \]Diferencia cada término utilizando la regla del producto para \( \dfrac{d}{dx}[xy] \) y la regla de la cadena para \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \):
\[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \]Nota que al calcular \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \), utilizamos la regla de la cadena ya que \( y \) es en sí misma una función de \( x \).
Despeja \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]Ejemplo 2
Usa la diferenciación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y^{4} + xy^{2} + x = 3 \)
Solución al Ejemplo 2
Utiliza la fórmula de diferenciación de una suma en el lado izquierdo de la ecuación dada:
\[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \]Diferencia cada término utilizando la regla de la potencia, la regla del producto y la regla de la cadena:
\[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1)y^{2} + x(2y \dfrac{dy}{dx}) + 1 = 0 \]Despeja \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - y^{2}}{4y^{3} + 2xy} \]Ejemplo 3
Encuentra todos los puntos en la gráfica de la ecuación:
\[ x^{2} + y^{2} = 4 \]donde las líneas tangentes son paralelas a la línea \( x + y = 2 \)
Solución al Ejemplo 3
Reescribe la línea dada \( x + y = 2 \) en la forma pendiente-intersección: \( y = -x + 2 \), e identifica la pendiente como \( m = -1 \). Las líneas tangentes son paralelas a esta línea y por lo tanto sus pendientes son iguales a \( -1 \). La pendiente de las líneas tangentes en un punto se puede encontrar mediante la diferenciación implícita de \( x^{2} + y^{2} = 4 \):
\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \]Sea \( P(a, b) \) el punto de tangencia. En el punto \( P \), la pendiente es \( -1 \). Sustituyendo \( x \) por \( a \), \( y \) por \( b \), y \( \dfrac{dy}{dx} \) por \( -1 \) en la ecuación anterior, obtenemos:
\[ 2a + 2b(-1) = 0 \implies 2a = 2b \implies a = b \]El punto \( P(a, b) \) está en la gráfica de \( x^{2} + y^{2} = 4 \), por lo tanto:
\[ a^{2} + b^{2} = 4 \]Sustituye \( a = b \) en \( a^2 + b^2 = 4 \):
\[ 2a^2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm\sqrt{2} \]Por lo tanto, obtenemos dos puntos:
\[ (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \quad \text{y} \quad (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \]Ejercicios
Usa la diferenciación implícita para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) para cada ecuación dada a continuación:
- \( xe^{y} = 3 \)
- \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
- \( x \sin(xy) = x \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(xy) - xy \cos(xy)}{x^{2} \cos(xy)} \)