Derivación Implícita

Ejemplos de Derivación Implícita con soluciones detalladas se presentan a continuación.

Explicación de la Derivación Implícita

Cuando se nos da una función \( y \) explícitamente en términos de \( x \), usamos las reglas y fórmulas de derivación para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \). Como ejemplo, sabemos cómo encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) si \( y = 2 x^3 - 2 x + 1 \).
En otras situaciones, sin embargo, en lugar de una función dada explícitamente, se nos da una ecuación que incluye términos en \( y \) y \( x \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \). Por ejemplo, se nos da una ecuación que relaciona \( y \) y \( x \) como sigue: \( x y + y^2 = 1 \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \).
La idea principal de la derivación implícita es derivar ambos lados de la ecuación dada y luego resolver la nueva ecuación obtenida para hallar \( \dfrac{dy}{dx} \).

Ejemplos de Derivación Implícita

Ejemplo 1

Usa la derivación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y x + \sin y = 1 \)
Solución al Ejemplo 1:
Deriva ambos lados de la ecuación dada y usa la regla de la suma de derivadas para todo el término de la izquierda de la ecuación dada. \[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \] Deriva cada término de arriba usando la regla del producto para \( \dfrac{d}{dx}[x y] \) y la regla de la cadena para \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \). \[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \] Observa que al calcular \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \), usamos la regla de la cadena ya que \( y \) es en sí misma una función de \( x \) y \( \sin (y) \) es una función de una función.
Resuelve para \( \dfrac{dy}{dx} \) para obtener. \[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]

Ejemplo 2

Usa la derivación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y^{4} + x y^{2} + x = 3 \)
Solución al Ejemplo 2:
Usa la derivación de una fórmula de suma en el lado izquierdo de la ecuación dada. \[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \] Deriva cada término de arriba usando la regla de la potencia, la regla del producto y la regla de la cadena. \[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1) y^{2} + x 2y \dfrac{dy}{dx} + 1 = 0 \] Resuelve para \( \dfrac{dy}{dx} \). \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(-1 - y^{2})}{(4y^{3} + 2xy)} \]

Ejemplo 3

Encuentra todos los puntos en la gráfica de la ecuación
\[ x^{2} + y^{2} = 4 \] donde las rectas tangentes son paralelas a la recta \( x + y = 2 \)
Solución al Ejemplo 3:
Reescribe la recta dada \( x + y = 2 \) en la forma pendiente-intersección: \( y = -x + 2 \) e identifica la pendiente como \( m = -1 \). Las rectas tangentes son paralelas a esta recta y, por lo tanto, su pendiente es igual a \( -1 \). La pendiente de las rectas tangentes en un punto se puede encontrar mediante la derivación implícita de \( x^{2} + y^{2} = 4 \).
\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \] Sea \( P(a , b) \) el punto de tangencia. En el punto \( P \) la pendiente es \( -1 \). Sustituyendo \( x \) por \( a \), \( y \) por \( b \) y \( \dfrac{dy}{dx} \) por \( -1 \) en la ecuación anterior, obtenemos: \[ 2a + 2b (-1) = 0 \] El punto \( P(a , b) \) está en la gráfica de \( x^{2} + y^{2} = 4 \), por lo tanto: \[ a^{2} + b^{2} = 4 \] Resuelve el sistema de ecuaciones: \( 2a - 2b = 0 \) y \( a^{2} + b^{2} = 4 \) para obtener dos puntos: \[ (- \sqrt{2} , - \sqrt{2}) \quad \text{y} \quad (\sqrt{2} , \sqrt{2}) \]

Ejercicios

Usa la derivación implícita para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) para cada ecuación dada a continuación.
  1. \( x e^{y} = 3 \)
  2. \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
  3. \( x \sin(x y) = x \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

  1. \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{x} \)
  2. \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y} \)
  3. \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(x y) -x y \cos(x y)}{x^{2} \cos(x y)} \)

Más Referencias y Enlaces

Tablas de Fórmulas para Derivadas
Reglas de Derivación de Funciones en Cálculo
derivación y derivadas