Diferenciación de funciones logarítmicas

Ejemplos de derivados de funciones logarítmicas , en cálculo , se presentan. Se examinan varios ejemplos, con soluciones detalladas, que involucran productos, sumas y cocientes de funciones logrítmicas.

La derivada de f (x) = log b x viene dada por

f '(x) = 1 / (x ln b)


Nota: si f(x) = ln x, entonces f '(x) = 1 / x

Ejemplo 1: Encuentre la derivada de f (x) = log3 x

Solución al Ejemplo 1:

  • Aplicar la fórmula anterior para obtener

    f '(x) = 1 / (x ln 3)


Ejemplo 2: Encuentre la derivada de f (x) = ln x + 6 x 2

Solución al Ejemplo 2:

  • Sea g (x) = ln x e h (x) = 6 x 2 , la función f es la suma de las funciones g e h: f(x) = g(x) + h(x). Usa la regla de la suma, f '(x) = g '(x) + h '(x), para encontrar la derivada de la función f

    f '(x) = 1 / x + 12x



Ejemplo 3: Encuentre la derivada de f(x) = log 3 x / (1 - x)

Solución al Ejemplo 3:

  • Deje que g(x) = log 3 x e h(x) = 1 - x, la función f es el cociente de las funciones g e h: f (x) = g(x) / h(x ) Por lo tanto, usamos la regla del cociente, f '(x) = [h(x) g'(x) - g(x) h'(x)] / h(x) 2 , para encontrar la derivada de la función f.

    g '(x) = 1 / (x ln 3)

    h '(x) = -1

    f '(x) = [ h(x) g '(x) - g(x) h '(x) ] / h(x) 2

    = [ (1 - x)(1 / (x ln 3)) - (log 3 x)(-1) ] / (1 - x) 2



Ejemplo 4: Encuentra la derivada de f(x) = ln (-4x + 1)

Solución al Ejemplo 4:

  • Deje u = -4x + 1 e y = ln u, use la regla de cadena para encontrar la derivada de la función f de la siguiente manera

    f '(x) = (dy / du) (du / dx)

  • dy / du = 1 / u and du / dx = -4

    f '(x) = (1 / u)(-4) = -4 / u

  • Sustituye u = -4x + 1 en f '(x) arriba

    f '(x) = -4 / (-4x + 1)
Ejercicios Encuentra la derivada de cada función.

1 - f(x) = ln(x
2)

2 - g(x) = ln x - x
7

3 - h(x) = ln x / (2x - 3)

4 - j(x) = ln (x + 3) ln (x - 1)

soluciones a los ejercicios anteriores

1 - f '(x) = 2 / x

2 - g '(x) = 1 / x -7x
6

3 - h '(x) = (2x - 3 - 2x ln x) / [ x(2x -3)
2 ]

4 - j '(x) = ln (x + 3) / (x - 1) + ln (x - 1) / (x + 3)

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