Se presentan ejemplos de derivadas de funciones logarítmicas en cálculo. Se examinan varios ejemplos, con soluciones detalladas, que involucran productos, sumas y cocientes de funciones exponenciales.
La primera derivada de \( f(x) = \log_b x \) está dada por:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln b} \]Nota: si \( f(x) = \ln x \), entonces \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \).
Encuentra la derivada de \[ f(x) = \log_3 x \]
Solución del Ejemplo 1:Aplica la fórmula anterior para obtener:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]Encuentra la derivada de \[ f(x) = \ln x + 6x^2 \]
Solución del Ejemplo 2:Sean \( g(x) = \ln x \) y \( h(x) = 6x^2 \). La función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Usa la regla de la suma, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]Encuentra la derivada de \[ f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \]
Solución del Ejemplo 3:Sean \( g(x) = \log_3 x \) y \( h(x) = 1 - x \). La función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, \( f'(x) = \dfrac{h(x) g'(x) - g(x) h'(x)}{(h(x))^2} \), para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ g'(x) = \dfrac{1}{(x \ln 3)} \] \[ h'(x) = -1 \] \[ f'(x) = \dfrac{(1 - x)\left(\dfrac{1}{(x \ln 3)}\right) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]Encuentra la derivada de \[ f(x) = \ln(-4x + 1) \]
Solución del Ejemplo 4:Sea \( u = -4x + 1 \) y \( y = \ln u \). Usa la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función \( f \) de la siguiente manera:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u}, \quad \dfrac{du}{dx} = -4 \] \[ f'(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \]Sustituye \( u = -4x + 1 \) en \( f'(x) \) de arriba:
\[ f'(x) = \dfrac{-4}{(-4x + 1)} \]Encuentra la derivada de cada función.