Se presentan ejemplos de las derivadas de las funciones logarítmicas, en cálculo. Se examinan varios ejemplos, con soluciones detalladas, que involucran productos, sumas y cocientes de funciones logarítmicas.
Primera derivada de una función logarítmica a cualquier base
La primera derivada de \( f(x) = \log_b x \) está dada por:
Nota: si \( f(x) = \ln x \), entonces \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \).
Ejemplos con soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de \( f(x) = \log_3 x \)
Solución al Ejemplo 1
Aplica la fórmula anterior para obtener:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]Ejemplo 2
Encuentra la derivada de \( f(x) = \ln x + 6x^2 \)
Solución al Ejemplo 2
Sea \( g(x) = \ln x \) y \( h(x) = 6x^2 \). La función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Utiliza la regla de la suma, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]Ejemplo 3
Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \)
Solución al Ejemplo 3
Sea \( g(x) = \log_3 x \) y \( h(x) = 1 - x \). La función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, utilizamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]Encontramos las derivadas individuales:
\[ g'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \] \[ h'(x) = -1 \]Sustituimos en la fórmula de la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{(1 - x)\left(\dfrac{1}{x \ln 3}\right) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]Ejemplo 4
Encuentra la derivada de \( f(x) = \ln(-4x + 1) \)
Solución al Ejemplo 4
Sea \( u = -4x + 1 \) y \( y = \ln u \). Utiliza la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \]Dado que \( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \) y \( \dfrac{du}{dx} = -4 \):
\[ f'(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \]Sustituye \( u = -4x + 1 \) de nuevo:
\[ f'(x) = \dfrac{-4}{-4x + 1} \]Ejercicios
Encuentra la derivada de cada función:
- \( f(x) = \ln(x^2) \)
- \( g(x) = \ln x - x^7 \)
- \( h(x) = \dfrac{\ln x}{2x - 3} \)
- \( j(x) = \ln(x + 3) \ln(x - 1) \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
- \( f'(x) = \dfrac{2}{x} \)
- \( g'(x) = \dfrac{1}{x} - 7x^6 \)
- \( h'(x) = \dfrac{2x - 3 - 2x \ln x}{x(2x - 3)^2} \)
- \( j'(x) = \dfrac{\ln(x + 3)}{x - 1} + \dfrac{\ln(x - 1)}{x + 3} \)