Reglas de Derivación de Funciones en Cálculo

Las reglas básicas de diferenciación de funciones en cálculo se presentan junto con varios ejemplos.

1 - Derivada de una función constante.

La derivada de \( f(x) = c \) donde c es una constante viene dada por

\[ \Large \color{red}{ f '(x) = 0 } \]
Ejemplo

Dada \( f(x) = - 10 \), por lo tanto \[ f '(x) = 0 \]


2 - Derivada de una función potencia (regla de la potencia).

La derivada de \( f(x) = x^r \) donde \( r \) es un número real constante viene dada por

\[ \Large \color{red}{ f '(x) = r \; x^{r-1} } \]
Ejemplo

Dada \( f(x) = x^{-2} \),
por lo tanto \[ f '(x) = -2 x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]


3 - Derivada de una función multiplicada por una constante.

La derivada de \( f(x) = c \; g(x) \), donde \( c \) es una constante, viene dada por

\[ \Large \color{red}{ f '(x) = c \; g '(x) } \] Ejemplo

Dada \( f(x) = 3 \; x^3 \),

sea \( c = 3 \) y \( g(x) = x^3 \), por lo tanto \( f(x) = c \; g(x) \)
y \[ f '(x) = c \; g '(x) = 3 (3 x^2) = 9 \; x^2 \]


4 - Derivada de la suma de funciones (regla de la suma).

La derivada de \( f(x) = g(x) + h(x) \) viene dada por

\[ \Large \color{red}{ f '(x) = g '(x) + h '(x) } \]
Ejemplo

Dada \( f(x) = x^2 + 4 \)

sea \( g(x) = x^2 \) y \( h(x) = 4 \)
Por lo tanto \[ f '(x) = g '(x) + h '(x) = 2 x + 0 = 2 x \]


5 - Derivada de la diferencia de funciones.

La derivada de \( f(x) = g(x) - h(x) \) viene dada por

\[ \Large \color{red}{ f '(x) = g '(x) - h '(x) } \]
Ejemplo

Dada \( f(x) = x^3 - x^{-2} \)

sea \( g(x) = x^3 \) y \( h(x) = x^{-2} \).

Por lo tanto

\[ f '(x) = g '(x) - h '(x) = 3 x^2 - (-2 x^{-3}) = 3 x^2 + 2 x^{-3} \]

6 - Derivada del producto de dos funciones (regla del producto).

La derivada de \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) viene dada por

\[ \Large \color{red}{ f '(x) = g(x) \cdot h '(x) + h(x) \cdot g '(x) } \]
Ejemplo

Dada \( f(x) = (x^2 - 2x) (x - 2) \)

sea \( g(x) = (x^2 - 2x) \) y \( h(x) = (x - 2) \).

Por lo tanto

\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)

y usando la fórmula, obtenemos

\[ f '(x) = g(x) h '(x) + h(x) g '(x) = (x^2 - 2x) (1) + (x - 2) (2x - 2) \]

Expandir y agrupar

\[ f '(x) = x^2 - 2x + 2 x^2 - 6x + 4 = 3 x^2 - 8 x + 4 \]

7 - Derivada del cociente de dos funciones (regla del cociente).

La derivada de \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) viene dada por

\[ \Large \color{red}{ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{ (h(x))^2} } \]
Ejemplo

Dada \( f(x) = \dfrac{x-2}{x+1} \)

sea \( g(x) = x - 2 \), \( \; h(x) = x + 1 \), por lo tanto \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \), \( g '(x) = 1 \) y \( h '(x) = 1 \).

Usa la fórmula proporcionada arriba

\[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{ (h(x))^2} \]

Sustituye \( h(x), g(x), h'(x) \) y \( g'(x) \) por sus expresiones

\[ f '(x) = \dfrac { (x + 1)(1) - (x - 2)(1) } {(x + 1)^2} \]

Agrupar y simplificar

\[ f '(x) = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]

Más referencias y enlaces

diferenciación y derivadas