Se presentan las reglas básicas de diferenciación de funciones en cálculo junto con varios ejemplos.
1. Derivada de una función constante
La derivada de \( f(x) = c \), donde \( c \) es una constante, está dada por:
Ejemplo y solución
Dada \( f(x) = -10 \), por lo tanto:
\[ f'(x) = 0 \]2. Derivada de una función potencia (Regla de la potencia)
La derivada de \( f(x) = x^r \), donde \( r \) es un número real constante, está dada por:
Ejemplo y solución
Dada \( f(x) = x^{-2} \), por lo tanto:
\[ f'(x) = -2x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]3. Derivada de una función multiplicada por una constante
La derivada de \( f(x) = c \cdot g(x) \), donde \( c \) es una constante, está dada por:
Ejemplo y solución
Dada \( f(x) = 3x^3 \), sea \( c = 3 \) y \( g(x) = x^3 \), por lo tanto \( f(x) = c \cdot g(x) \):
\[ f'(x) = c \cdot g'(x) = 3(3x^2) = 9x^2 \]4. Derivada de la suma de funciones (Regla de la suma)
La derivada de \( f(x) = g(x) + h(x) \) está dada por:
Ejemplo y solución
Dada \( f(x) = x^2 + 4 \), sea \( g(x) = x^2 \) y \( h(x) = 4 \):
\[ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 0 = 2x \]5. Derivada de la diferencia de funciones (Regla de la diferencia)
La derivada de \( f(x) = g(x) - h(x) \) está dada por:
Ejemplo y solución
Dada \( f(x) = x^3 - x^{-2} \), sea \( g(x) = x^3 \) y \( h(x) = x^{-2} \):
\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) = 3x^2 - (-2x^{-3}) = 3x^2 + 2x^{-3} \]6. Derivada del producto de dos funciones (Regla del producto)
La derivada de \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) está dada por:
Ejemplo y solución
Dada \( f(x) = (x^2 - 2x)(x - 2) \), sea \( g(x) = x^2 - 2x \) y \( h(x) = x - 2 \):
\[ f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = (x^2 - 2x)(1) + (x - 2)(2x - 2) \]Expande y agrupa los términos semejantes:
\[ f'(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 6x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \]7. Derivada del cociente de dos funciones (Regla del cociente)
La derivada de \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) está dada por:
Ejemplo y solución
Dada \( f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} \), sea \( g(x) = x - 2 \) y \( h(x) = x + 1 \). Aquí \( g'(x) = 1 \) y \( h'(x) = 1 \):
\[ f'(x) = \dfrac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \]Agrupa y simplifica:
\[ f'(x) = \dfrac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]