Se presentan las reglas básicas de diferenciación de funciones en cálculo junto con varios ejemplos.
1 - Derivada de una función constante.
\( \)\( \)\( \)\( \)
La derivada de \( f(x) = c \) donde c es una constante se da por
\[ f '(x) = 0 \]
Ejemplo
Dado \( f(x) = - 10 \), entonces \( f '(x) = 0 \)
2 - Derivada de una función potencia (regla de la potencia).
La derivada de \( f(x) = x^r \) donde \( r \) es un número real constante se da por
\[ f '(x) = r \; x^{r-1} \]
Ejemplo
Dado \( f(x) = x^{-2} \) , entonces \( f '(x) = -2 x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \)
3 - Derivada de una función multiplicada por una constante.
La derivada de \( f(x) = c \; g(x) \), donde \( c \) es una constante, se da por
\[ f '(x) = c \; g '(x) \]
Ejemplo
Dado \( f(x) = 3 \; x^3 \) ,
deje \( c = 3 \) y \( g(x) = x^3 \), entonces \( f(x) = c \; g(x) \)
y \( f '(x) = c \; g '(x) = 3 (3 x^2) = 9 \; x^2 \)
4 - Derivada de la suma de funciones (regla de la suma).
La derivada de \( f(x) = g(x) + h(x) \) se da por
\[ f '(x) = g '(x) + h '(x) \]
Ejemplo
Dado \( f(x) = x^2 + 4 \)
deje \( g(x) = x^2 \) y \( h(x) = 4 \) Entonces \( f '(x) = g '(x) + h '(x) = 2 x + 0 = 2 x \)
5 - Derivada de la diferencia de funciones.
La derivada de \( f(x) = g(x) - h(x) \) se da por
\[ f '(x) = g '(x) - h '(x) \]
Ejemplo
Dado \( f(x) = x^3 - x^{-2} \)
deje \( g(x) = x^3 \) y \( h(x) = x^{-2} \).
Entonces
\( f '(x) = g '(x) - h '(x) = 3 x^2 - (-2 x^{-3}) = 3 x^2 + 2 x^{-3} \)
6 - Derivada del producto de dos funciones (regla del producto).
La derivada de \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) se da por
\[ f '(x) = g(x) \cdot h '(x) + h(x) \cdot g '(x) \]
Ejemplo
Dado \( f(x) = (x^2 - 2x) (x - 2) \)
deje \( g(x) = (x^2 -
2x) \) y \( h(x) = (x - 2) \).
Entonces
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)
y usando la fórmula, obtenemos
\( f '(x) = g(x) h '(x) + h(x) g '(x) = (x^2 - 2x) (1) + (x - 2) (2x - 2) \)
Expandir y agrupar
\( f '(x) = x^2 - 2x + 2 x^2 - 6x + 4 = 3 x^2 - 8 x + 4 \)
7 - Derivada del cociente de dos funciones (regla del cociente).
La derivada de \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) se da por
\[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{ (h(x))^2} \]
Ejemplo
Dado \( f(x) = \dfrac{x-2}{x+1} \)
deje \( g(x) = x - 2 \), \( \; h(x) = x + 1 \), entonces \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \), \( g '(x) = 1 \) y \( h '(x) = 1 \).
Use la fórmula dada arriba
\( f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{ (h(x))^2} \)
Sustituya \( h(x), g(x), h'(x) \) y \( g'(x) \) por sus expresiones
\( f '(x) = \dfrac { (x + 1)(1) - (x - 2)(1) } {(x + 1)^2} \)
Agrupe y simplifique
\( f '(x) = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \)
