Diferenciación de funciones trigonométricas

Fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x) , sec(x) y csc(x) , en cálculo, se presentan junto con varios ejemplos que implican productos, sumas y cocientes de funciones trigonométricas.

1 - Derivado de sin x.

la derivada de f(x) = sin x es dado por

f '(x) = cos x


2 - Derivado de cos x.

la derivada de f(x) = cos x es dado por

f '(x) = - sin x


3 - Derivado de tan x.

la derivada de f(x) = tan x es dado por

f '(x) = sec 2 x


4 - Derivado de cot x.

la derivada de f(x) = cot x es dado por

f '(x) = - csc 2 x


5 - Derivado de sec x.

la derivada de f(x) = sec x tan x es dado por

f '(x) = sec x tan x


6 - Derivado de csc x.

la derivada de f(x) = csc x es dado por

f '(x) = - csc x cot x


Ejemplo 1: Encuentre la primera derivada f(x) = x sin x

Solución al ejemplo 1:

  • Sea g (x) = x y h (x) = sin x, la función f puede considerarse como el producto de las funciones g e h: f (x) = g(x ) h(x). Por lo tanto, usamos la regla del producto, f '(x) = g (x) h' (x) + h (x) g '(x), para diferenciar la función f de la siguiente manera

    f '(x) = x cos x + sin x * 1 = x cos x + sin x


Ejemplo 2: Encuentre la primera derivada de f (x) = tan x + sec x

Solución al ejemplo 2:

  • Supongamos que g (x) = tan x e h(x) = sec x, la función f puede considerarse como la suma de las funciones g e h: f(x) = g(x) + h(x). Por lo tanto, usamos la regla de suma, f '(x) = g '(x) + h '(x), para diferenciar la función f de la siguiente manera

    f '(x) = sec 2 x + sec x tan x = sec x (sec x + tan x)


Ejemplo 3: Encuentre la primera derivada de f (x) = sen x / [1 + cos x]

Solución al ejemplo 3:

  • Supongamos que g (x) = sen x y h (x) = 1 + cos x, la función f puede considerarse como el cociente de las funciones g y h: f (x) = g (x) / h (x). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, f '(x) = [h(x) g '(x) - g(x) h '(x)] / h(x) 2 , para diferenciar función f de la siguiente manera

    g '(x) = cos x

    h '(x) = - sin x

    f '(x) = [ h(x) g '(x) - g(x) h '(x) ] / h(x) 2

    = [ (1 + cos x)(cos x) - (sin x)(- sin x) ] / (1 + cos x) 2

    = [ cos x + cos 2x + sin 2x ] / (1 + cos x) 2

  • Use la identidad trigonométrica cos2 x + sin2 x = 1 para simplificar lo anterior

    f '(x) = [ cos x + 1 ] / (1 + cos x) 2 = 1 / [cos x + 1]


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