Área entre curvas

Primero graficamos las dos ecuaciones y examinamos la región encerrada entre las curvas.

La región cuya área está en cuestión está acotada superiormente por la curva \( y = -x^2 + 6 \) e inferiormente por la curva \( y = x^2 - 2x + 2 \). Los puntos extremos izquierdo y derecho de la región son los puntos de intersección de las curvas, encontrados resolviendo el sistema de ecuaciones:

\[ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 2 \\ y = -x^2 + 6 \end{cases} \]

Sustituye \( y \) para obtener una ecuación en una variable:

\[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6 \]

Reescribe en forma estándar:

\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies 2(x + 1)(x - 2) = 0 \]

Lo que da como soluciones:

\[ x = -1 \quad \text{y} \quad x = 2 \]

Entre los puntos de intersección, \( -x^2 + 6 \ge x^2 - 2x + 2 \). Sea \( f(x) = -x^2 + 6 \) y \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \), y aplica la fórmula (1):

\[ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\ &= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} = 9 \end{aligned} \]

Conclusión: El área de la región encerrada entre las curvas es igual a \( 9 \).

Examinamos la región utilizando dos métodos.

Método 1: Integración con respecto a \( x \)

La región desde \( x = -2 \) hasta \( x = 0 \) está bajo la curva \( y = \sqrt{x + 2} \), por lo que su área \( A_1 \) es:

\[ \begin{aligned} A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx = \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3} (2^{3/2}) \end{aligned} \]

La región desde \( x = 0 \) hasta el punto de intersección de \( y = \sqrt{x + 2} \) y \( y = x \):

\[ \sqrt{x + 2} = x \implies x + 2 = x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

El área \( A_2 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 2 \) es:

\[ \begin{aligned} A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx = \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2} \end{aligned} \]

Área total:

\[ A_1 + A_2 = \dfrac{10}{3} \; \text{unidad}^2 \]

Método 2: Integración con respecto a \( y \)

Expresa \( x \) en términos de \( y \): la curva derecha es \( x = y \), la curva izquierda es \( x = y^2 - 2 \). Los límites en \( y \) van desde \( y = 0 \) hasta \( y = 2 \):

\[ \begin{aligned} \text{Área} &= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy = \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\ &= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} = \frac{10}{3} \; \text{unidad}^2 \end{aligned} \]

Nota que el segundo método es mucho más rápido.

Encuentra los puntos de intersección donde \( \sin(x) = \cos(x) \implies \tan(x) = 1 \). Entre \( 0 \) y \( 2\pi \), las soluciones son \( x = \pi/4 \) y \( x = 5\pi/4 \).

Dividimos en 3 regiones:

• Región 1 (\( 0 \) a \( \pi/4 \)): \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_1 = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} - 1 \]
• Región 2 (\( \pi/4 \) a \( 5\pi/4 \)): \( \sin x \ge \cos x \) \[ A_2 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x)\, dx = 2\sqrt{2} \]
• Región 3 (\( 5\pi/4 \) a \( 2\pi \)): \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_3 = \int_{5\pi/4}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} + 1 \]

Área total \( A = A_1 + A_2 + A_3 = 4\sqrt{2} \; \text{unidad}^2 \).

Encuentra la intersección de \( y = 3x - x^2 \) y \( y = 0.5x \):

\[ 3x - x^2 = 0.5x \implies 2.5x - x^2 = 0 \implies x(2.5 - x) = 0 \implies x = 0, \; x = 2.5 \]

Área de la región A:

\[ A = \int_{0}^{2.5} (3x - x^2 - 0.5x)\, dx = \int_{0}^{2.5} (2.5x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} = \dfrac{125}{48} \; \text{unidades}^2 \]

Área total bajo la curva \( y = 3x - x^2 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 3 \):

\[ A_t = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{3x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{3} = \dfrac{9}{2} \; \text{unidades}^2 \]

El área de la región B es \( B = A_t - A \). La razón \( r = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = \dfrac{125}{91} \).

Desarrolla la ecuación del segundo círculo: \( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \). Restar de \( x^2 + y^2 = 4 \) da \( y = 7/4 \). Sustituir en \( x^2 + y^2 = 4 \) da \( x = \pm\sqrt{15}/4 \).

La curva superior es \( y = \sqrt{4 - x^2} \) y la curva inferior es \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \). Por simetría, la mitad del área \( A' \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = \sqrt{15}/4 \) es:

\[ A' = \int_{0}^{\sqrt{15}/4} \left(\sqrt{4 - x^2} - 2 + \sqrt{1 - x^2}\right) dx \approx 0.70153 \]

Área superpuesta total \( A = 2A' \approx 1.4 \; \text{unidad}^2 \).