Encuentra el área entre curvas usando integrales definidas. Se presentan tutoriales sobre las aplicaciones de las integrales para calcular áreas entre curvas, con ejemplos y soluciones detalladas. Este tutorial es una continuación del tutorial sobre área bajo una curva. Comienza con ejemplos sencillos y avanza hacia otros más desafiantes que deben intentarse si se desea una buena preparación en las aplicaciones de las integrales.
Fórmulas de Áreas Entre Curvas
Podemos encontrar el área entre dos curvas restando el área correspondiente a la curva inferior del área de la curva superior de la siguiente manera:
1) Si \(f \) y \( h \) son funciones de \( x \) tales que \( f(x) \ge h(x) \) para todo \( x \) en el intervalo \( [ x_1 , x_2 ] \), el área que se muestra a continuación (en azul) está dada por
\[ \color{red}{\text{Área} = \int_{x_1}^{x_2} \left(f(x) - h(x) \right) dx } \quad (1) \]
Figura 1. Área finita entre dos curvas definidas como funciones de x
2 - Si \( Z \) y \( X \) son funciones de y tales que \( Z(y) \ge X(y) \) para todo \( y \) en el intervalo \( [ y_1 , y_2 ] \), el área que se muestra a continuación, en azul, está dada por
\[ \color{red}{\text{Área} = \int_{y_1}^{y_2} \left(Z(y) - X(y)\right) dy } \quad (2) \]
Figura 2. Área finita entre dos curvas definidas como funciones de y
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra el área de la región encerrada entre las curvas definidas por las ecuaciones \( y = x^2 - 2x + 2 \) y \( y = - x^2 + 6 \).
Solución al Ejemplo 1
Primero graficamos las dos ecuaciones y examinamos la región encerrada entre las curvas.
Figura 3. Área entre curvas ejemplo 1.
La región cuya área se busca está limitada superiormente por la curva \( y = - x^2 + 6 \) e inferiormente por la curva \( y = x^2 - 2x + 2 \). El punto extremo izquierdo y el punto extremo derecho de la región son los puntos de intersección de las curvas y se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
y = x^2 - 2x + 2 \\
y = - x^2 + 6. \\
\end{cases}
\]
Sustituye \( y \) por \( x^2 - 2x + 2 \) para eliminar \( y \) y obtener una ecuación en una variable.
\[ x^2 - 2x + 2 = - x^2 + 6 \]
reescribe en forma estándar
\[ 2 x^2 - 2x - 4 = 0 \]
factoriza el lado izquierdo
\[ 2(x+1)(x-2) = 0 \]
que da las soluciones
\[ x = -1 \quad \text{y} \quad x = 2 \]
Entre los puntos de intersección, \( -x^2 + 6 \) es mayor o igual que \( x^2 - 2x + 2 \).
Sea \( f(x) = -x^2 + 6 \) y \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \) y aplica la fórmula (1) anterior para encontrar el área A de la región entre las dos curvas.
Los límites de integración son las coordenadas \( x \) de los puntos de intersección encontrados anteriormente: \( -1 \) y \( 2 \).
\[
\begin{aligned}
A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\
&= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\
&= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\
&= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} \\
&= 9
\end{aligned}
\]
Conclusión: El área de la región encerrada entre las curvas \( y = x^2 - 2x + 2 \) y \( y = -x^2 + 6 \) es igual a \( 9 \).
Ejemplo 2
Encuentra el área de la región encerrada entre las curvas definidas por las ecuaciones \( y = \sqrt{x + 2} \) , \( y = x \) y \( y = 0 \).
Solución al Ejemplo 2
Primero graficamos las tres curvas y examinamos la región encerrada.
Dos métodos para resolver este problema
Método 1
Usa las ecuaciones de las curvas con \( y \) como función de \( x \) e integra en \( x \) usando la fórmula (1) anterior.
Figura 4. Área entre curvas ejemplo 2.
La región desde \( x = -2 \) hasta \( x = 0 \) está bajo la curva \( y = \sqrt{x + 2} \) y, por lo tanto, su área \( A_1 \) se puede calcular de la siguiente manera
\[
\begin{aligned}
A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx \\
&= \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} \\
&= \frac{2}{3} \big(2^{3/2}\big)
\end{aligned}
\]
La región desde \( x = 0 \) hacia la derecha está limitada por el punto de intersección de las dos curvas, que se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
y = \sqrt{x + 2} \\
y = x \\
\end{cases}
\]
que da
\[ \sqrt{x + 2} = x \]
Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior para obtener
\[ x + 2 = x^2 \]
Resuelve lo anterior para encontrar una solución válida (recuerda verificar el dominio: las soluciones deben dar \( \sqrt{x + 2} \) como un número real).
\[ x = 2 \]
El área A2 de la región desde x = 0 hasta x = 2 (punto de intersección) se encuentra usando la fórmula para el área entre dos curvas de la siguiente manera
\[
\begin{aligned}
A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx \\
&= \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} \\
&= \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2}
\end{aligned}
\]
El área total está dada por
\[A_1 + A_2 = \dfrac{2}{3} (2^{3/2}) + \dfrac{2}{3}(4^{3/2}) - 2 - \dfrac{2}{3} (2^{3/2}) = \dfrac{10}{3} \; \text{unidad}^2\]
Método 2
Usa las ecuaciones de las curvas con x como función de y e integra en y usando la segunda fórmula anterior.
La ecuación \( x \) en términos de \( y \) de la curva de la derecha es \( x = y \); la ecuación de la curva de la izquierda se da como
\[ y = \sqrt {x + 2} \]
Eleva al cuadrado ambos lados y resuelve para x para obtener
\[ x = y^2 - 2 \]
La región cuya área necesitamos encontrar está limitada por \( y = 0 \) hasta \( y = 2 \) (coordenada y del punto de intersección). El área total de esta región está dada por
\[
\begin{aligned}
\text{Área}
&= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy \\
&= \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\
&= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} \\
&= \frac{10}{3} \; \text{unidad}^2
\end{aligned}
\]
Observa que el segundo método es mucho más rápido.
Ejemplo 3
Encuentra el área de la región encerrada por las curvas \( y = \sin(x) \) , \( y = \cos(x) \), \( x = 0 \) y \( x = 2 \pi \).
Solución al Ejemplo 3
Primero graficamos \( sin(x) \) y \( cos(x) \) desde \( 0 \) hasta \( 2\pi \).
Figura 5. Área entre curvas ejemplo 3.
Primero necesitamos encontrar las coordenadas x de los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones
\[ y = \sin(x) \quad \text{y} \quad y = \cos(x) \]
que da la ecuación
\[ \sin(x) = \cos(x) \]
Divide ambos lados por \( \cos(x) \) para obtener
\[ \tan(x) = 1 \]
Las soluciones entre \( x = 0 \) y \( x = 2\pi \) para la ecuación anterior son
\( x = \pi/4 \) y \( x = 5 \pi/4 \) como se muestra en el gráfico.
Ahora identificamos 3 regiones limitadas por \( x = 0 \), \( x = 2\pi \) y los puntos de intersección de la siguiente manera:
Región 1
desde \( x = 0 \) hasta \( x = \pi/4 \) y su área \( A_1 \) está dada por (teniendo en cuenta que \( \cos x \ge \sin x \) en esta región)
\[
\begin{aligned}
A_1 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x)\, dx \\
&= \Big[\sin x + \cos x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \left(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) + \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\right)
- (\sin 0 + \cos 0) \\
&= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) \\
&= \sqrt{2} - 1 \;\text{unidad}^2
\end{aligned}
\]
Región 2
desde \( x = \pi/4 \) hasta \( x = 5\pi/4 \) y su área A2 está dada por (teniendo en cuenta que \( \sin x \ge \cos x \) en esta región)
\[
\begin{aligned}
A_2 &= \int_{\pi/4}^{5\pi/4} \big(\sin x - \cos x\big)\, dx \\[4pt]
&= \Big[-\cos x - \sin x\Big]_{\pi/4}^{5\pi/4} \\[4pt]
&= \Big[(-\cos(5\pi/4) - \sin(5\pi/4)) - (-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4))\Big] \\[6pt]
&= \Big[-\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big) - \Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\Big]
- \Big[-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big] \\[6pt]
&= \Big[\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big]
- \Big[-\sqrt{2}\Big] \\[4pt]
&= \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\;\text{unidad}^2
\end{aligned}
\]
Región 3
desde \( x = 5\pi/4 \) hasta \( x = 2\pi \) y su área \( A_3 \) está dada por (teniendo en cuenta que \( \cos x \ge \sin x \) en esta región)
\[
\begin{aligned}
A_3 &= \int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx \\
&= \Big[\sin x + \cos x\Big]_{\tfrac{5\pi}{4}}^{2\pi} \\
&= \big(\sin(2\pi) + \cos(2\pi)\big) - \big(\sin(\tfrac{5\pi}{4}) + \cos(\tfrac{5\pi}{4})\big) \\
&= (0 + 1) - \Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big) \\
&= 1 + \sqrt{2}\;\text{unidad}^2
\end{aligned}
\]
El área total \( A \) se obtiene sumando el área \( A_1 \), \( A_2 \) y \( A_3 \)
\[
A = A_1 + A_2 + A_3 = 4 \sqrt 2 \; \text{unidad}^2
\]
Ejemplo 4
A continuación se grafican \( y = 3x - x^2 \) y \( y = 0.5 x \). Encuentra la relación del área de la región A con el área de la región B.
Figura 6. Área entre curvas ejemplo 4.
Solución al Ejemplo 4
Primero calculamos el área \( A \) de la región A como el área de una región entre dos curvas \( y = 3 x - x^2 \) y \( y = 0.5 x \), \( x = 0 \) y el punto de intersección de las dos curvas. Primero encuentra el punto de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
y = 3x - x^2 \\
y = 0.5 x \\
\end{cases}
\]
que, por sustitución, da
\[ 3x - x^2 = 0.5 x \]
\[ 2.5x - x^2 = 0 \]
Factoriza
\[ x(2.5 - x) = 0 \]
para obtener dos soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 2.5 \]
El área de la región A se calcula de la siguiente manera
\[
\begin{aligned}
A &= \int_{0}^{2.5} \big(3x - x^2 - 0.5x\big)\, dx \\
&= \int_{0}^{2.5} \big(2.5x - x^2\big)\, dx \\
&= \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} \\
&= \tfrac{125}{48}\; \text{unidades}^2
\end{aligned}
\]
Ahora necesitamos encontrar el área \( B \) de la región B, que se puede calcular fácilmente restando el área de A del área total \( A_t = A + B \) bajo la curva de \( y = 3x - x^2 \), que está dada por
\[
A_t = \int_{0}^{3} ( 3x - x^2 ) dx = \left [ 3 x^2 / 2 - x^3/3 \right ]_{0}^{3} = 9/2 \; \text{unidad}^2
\]
Observa que los límites de integración \( 0 \) y \( 3 \) son las intersecciones con el eje x obtenidas resolviendo la ecuación
\( 3x - x^2 = 0 \) que tiene las soluciones \( 0 \) y \( 3 \)
La relación r del área de A al área de B es
\[
\text{r} = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = 125 / 91
\]
Ejemplo 5
Encuentra el área de la región superpuesta de los círculos con ecuaciones: \( x^2 + y^2 = 4 \) y
\( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \).
Solución al Ejemplo 5
Primero graficamos las ecuaciones de los círculos dados para identificar la región superpuesta que está coloreada en azul claro.
Figura 7. Área entre círculos superpuestos, ejemplo 5.
La región cuya área se va a encontrar está limitada por el punto de intersección de los dos círculos, por lo tanto, necesitamos encontrar las coordenadas x de los dos puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones dado por las ecuaciones de los círculos.
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
x^2 + (y - 2)^2 = 1 \\
\end{cases}
\]
expande el lado izquierdo de la ecuación \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \)
\[ x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \]
Ahora resta lado a lado las ecuaciones \( x^2 + y^2 = 4 \) y \( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \) para obtener una ecuación en una variable
\[ - 4y + 4 = -3 \]
Resuelve para \( y \)
\[ y = 7/4 \]
Sustituimos \( y \) por \( 7/4 \) en la ecuación \( x^2 + y^2 = 4 \) y resolvemos para \( x \) para obtener dos soluciones que son las coordenadas x de los puntos de intersección de los dos círculos.
\[ x = \sqrt{15} / 4 \quad y \quad x = - \sqrt{15} / 4 \]
Ahora necesitamos encontrar las ecuaciones de las curvas que forman la región cuya área se va a encontrar.
Resuelve \( x^2 + y^2 = 4 \) para \( y \) para obtener 2 soluciones.
\[ y = \sqrt{4 - x^2} \quad y \quad y = - \sqrt{4 - x^2} \]
Seleccionamos la mitad superior \( y = \sqrt{4 - x^2} \) de este círculo (grande) como se muestra en los gráficos anteriores.
Resuelve \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \) para y para obtener 2 soluciones.
\[ y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \quad y \quad y = 2 + \sqrt{1 - x^2} \]
Seleccionamos la mitad inferior \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \) de este círculo (pequeño) como se muestra en los gráficos anteriores.
Debido a la simetría de los dos círculos con respecto al eje y, podemos calcular la mitad del área A': desde \( x = 0 \) hasta \(x = \sqrt{15} / 4 \) de la región superpuesta y luego multiplicar por 2. A' se calcula como el área entre dos curvas de la siguiente manera.
\[
\text{A'} = \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} ( (\sqrt{4 - x^2}) - (2 - \sqrt{1 - x^2}) ) dx
\]
Usa la regla de la suma y la diferencia de integración para escribir la integral anterior como
\[
\text{A'} = \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} \sqrt{4 - x^2} \; dx - \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} 2 \; dx + \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} \sqrt{1 - x^2} \; dx
\]
Usa la fórmula para la integración
\[
\int \sqrt{a^2 - x^2}dx = (x/2)\sqrt{a^2-x^2} + \dfrac{a^2}{2} \arcsin(x/a) + C
\]
para obtener
\[
\text{A'} = \left[ \dfrac{x}{2} \sqrt{4-x^2} + 2 \arcsin(x/2) - 2x + \dfrac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \dfrac{1}{2} \arcsin(x) \right]_{0}^{\sqrt{15} / 4} \approx 0.70153
\]
El área total A de la región superpuesta es el doble
\[
A \approx 1.4 \; \text{unidad}^2
\]
Ejercicios
Encuentra el área de la región encerrada por \( y = (x-1)^2 + 3 \) y \( y = 7 \).
Encuentra el área de la región limitada por x = 0 a la izquierda, \( x = 2 \) a la derecha, \( y = x^3 \) arriba y \( y = -1 \) abajo.
Encuentra el área encerrada por las curvas \( y = \dfrac{1}{x^2} \) , \( y = x \) y \( y = 3 \).
