Encuentra el área de un círculo de radio \( a \) usando integrales en cálculo.
Solución al problema
La ecuación del círculo que se muestra arriba está dada por:
\[ x^2 + y^2 = a^2 \]El círculo es simétrico con respecto a los ejes x y y. Por lo tanto, podemos encontrar el área de un cuarto del círculo y multiplicarla por 4 para obtener el área total del círculo.
Despeja \( y \) de la ecuación del círculo:
\[ y = \pm \sqrt{a^2 - x^2} \]La ecuación del semicírculo superior (\( y \ge 0 \)) está dada por:
\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]Saca factor común \( a^2 \) dentro del radical:
\[ y = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)} \]Extrae \( a^2 \) de debajo del radical:
\[ y = a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]Utilizamos integrales definidas para encontrar el área del cuarto superior derecho del círculo:
Utilicemos la sustitución trigonométrica haciendo \( \sin t = \frac{x}{a} \), lo que da \( x = a \sin t \) y \( dx = a \cos t \, dt \). La integral se convierte en:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt \]Ahora utilizamos la identidad trigonométrica:
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]lo que da \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) (ya que \( t \) varía de \( 0 \) a \( \pi/2 \)). Por lo tanto:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt \]Utiliza la identidad de reducción de potencia \( \cos^2 t = \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \) para linealizar el integrando:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \int_0^{\pi/2} a^2 \left( \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \right) dt \]Evalúa la integral:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \dfrac{1}{2} a^2 \left[ \dfrac{1}{2} \sin(2t) + t \right]_0^{\pi/2} \]Simplifica:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \dfrac{1}{4} \pi a^2 \]El área total del círculo se obtiene multiplicando el área del cuarto de círculo por 4: