Encuentra el área de un círculo de radio \( a \) usando integrales en cálculo.
Problema : Encuentra el área de un círculo con radio \( a \).
Solución al problema:
La ecuación del círculo mostrada arriba está dada por
El círculo es simétrico con respecto a los ejes x e y, por lo tanto podemos encontrar el área de un cuarto del círculo y multiplicarla por 4 para obtener el área total del círculo.
Resuelve la ecuación anterior para \( y \):
\[ y = \pm \sqrt{ a^2 - x^2 } \]La ecuación del semicírculo superior (y positivo) está dada por:
\[ y = \sqrt { a^2 - x^2 } \]Factoriza \( a^2 \) dentro del radicando:
\[ y = \sqrt { a^2(1 - x^2/a^2) } \]Saca \( a^2 \) del radicando y reescribe \( y \) de la siguiente manera:
\[ y = a \sqrt { 1 - x^2 / a^2 } \]Usamos integrales para encontrar el área del cuarto superior derecho del círculo de la siguiente manera:
Sustituyamos \( x / a \) por \( \sin t \) de modo que \( \sin t = x / a \) y \( dx = a \cos t \, dt \) y el área está dada por:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1-\sin^2t} \cos t \, dt \]Ahora usamos la identidad trigonométrica:
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]lo que da:
\[ \sqrt{1-\sin^2t} = \cos t \quad \] ya que t varía de \( 0 \) a \( \pi/2 \).Por lo tanto:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2t \, dt \]Usa la identidad trigonométrica \( \cos^2 t = ( \cos 2t + 1 ) / 2 \) para linealizar el integrando:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = \int_0^{\pi/2} a^2 ( \cos 2t + 1 ) / 2 \, dt \]Evalúa la integral:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = (1/2)a^2 \left[(1/2) \sin 2t + t\right]_0^{\pi/2} \]Simplifica:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área del círculo} = (1/4) \pi a^2 \]El área total del círculo se obtiene multiplicando por 4 el área anterior.
\[ \text{Área del círculo} = 4 \times (1/4) \pi a^2 = \pi a^2 \]