Encuentra el área de una elipse usando integrales y cálculo.
Solución al problema
La ecuación de la elipse que se muestra arriba se puede escribir en la forma:
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]Dado que la elipse es simétrica con respecto a los ejes \( x \) y \( y \), podemos encontrar el área de un cuarto y multiplicarla por 4 para obtener el área total.
Despeja \( y \) de la ecuación anterior:
\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]La parte superior de la elipse (\( y \) positivo) está dada por:
\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]Ahora utilizamos integrales definidas para encontrar el área del cuarto superior derecho de la elipse:
Ahora hacemos la sustitución trigonométrica \( \sin t = \dfrac{x}{a} \), lo que da \( x = a \sin t \) y \( dx = a \cos t \, dt \). La integral se convierte en:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área de la elipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left(\sqrt{1 - \sin^2 t}\right) \cos t \, dt \]Dado que \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) para \( t \) variando de \( 0 \) a \( \dfrac{\pi}{2} \), tenemos:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área de la elipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]Utiliza la identidad de reducción de potencia \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \) para linealizar el integrando:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área de la elipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \right) dt \]Evalúa la integral:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Área de la elipse} = \dfrac{1}{2} ab \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{4} \pi ab \]Obtén el área total de la elipse multiplicando por 4: