Encontrar el Área de una Elipse Usando Cálculo
Encuentra el área de una elipse usando integrales y cálculo.
Problema :
Encuentra el área de una elipse con semiejes \( a \) y \( b \).
Solución al problema:
La ecuación de la elipse mostrada arriba puede escribirse en la forma
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]
Dado que la elipse es simétrica con respecto a los ejes \( x \) y \( y \), podemos encontrar el área de un cuarto y multiplicar por 4 para obtener el área total.
Resuelve la ecuación anterior para \( y \)
\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]
La parte superior de la elipse (\( y \) positiva) está dada por
\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]
Ahora usamos integrales para encontrar el área del cuarto superior derecho de la elipse de la siguiente manera
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Área de la elipse } = \displaystyle \int_{0}^{a} b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \, dx \]
Ahora hacemos la sustitución \( \quad \sin t = \dfrac{x}{a} \) de modo que \( dx = a \cos t \, dt \) y el área está dada por
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Área de la elipse } = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b ( \sqrt{1 - \sin^2 t} ) \cos t \, dt \]
\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \] ya que \( t \) varía de \( 0 \) a \( \dfrac{\pi}{2} \), por lo tanto
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Área de la elipse } = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]
Usa la identidad trigonométrica \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \) para linealizar el integrando;
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Área de la elipse } = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b ( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} ) \, dt \]
Evalúa la integral
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Área de la elipse } = \dfrac{1}{2} b a [ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t ] \bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \]
\[ = \dfrac{1}{4} \pi a b \]
Obtén el área total de la elipse multiplicando por 4
\[ \text{Área de la elipse} = 4 \times \dfrac{1}{4} \pi a b = \pi a b \]
Más referencias sobre
integrales y sus aplicaciones en cálculo.