Cómo encontrar el área bajo curvas usando integrales definidas; se presentan tutoriales, con ejemplos y soluciones detalladas. Al final de la página se presenta un conjunto de ejercicios con respuestas. También se incluyen tutoriales sobre área entre curvas.
Podemos aproximar el área bajo la curva desde \( x = x_1 \) hasta \( x = x_n \) dividiendo toda el área en rectángulos.
Por ejemplo, el área del primer rectángulo (en negro) está dada por:
\[ y \Delta x = f(x_1)\Delta x \]y luego sumamos las áreas de estos rectángulos de la siguiente manera:
\[ \text{Área Aproximada} = \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]Si Δx en la expresión de aproximación del área anterior se vuelve lo suficientemente pequeño, la suma de las áreas de los rectángulos se acercará al valor exacto del área bajo la curva.
Por lo tanto, definimos el área de la siguiente manera:
\[ \text{Área Exacta} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]El límite anterior existe y tiene la siguiente notación utilizando el concepto de integrales definidas (en rojo).
\[ \text{Área Exacta} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x = \large \color{red} {\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx } \]A continuación presentamos varios ejemplos sobre cómo usar integrales para encontrar el área bajo una curva. También se incluyen soluciones detalladas a estos ejemplos.
Encuentra el área de la región limitada por \( y = 2x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( x = 2 \). (ver figura a continuación).
Se utilizan dos métodos para encontrar el área.
Método 1 Este problema se puede resolver usando la fórmula del área de un triángulo. \[ \text{área} = (1/2) \times \text{base} \times \text{altura} = (1/2) \times 2 \times 4 = 4 \; unidad^2 \] Método 2 usando cálculoAhora usaremos integrales definidas para encontrar el área definida anteriormente. Si dejamos que \( f(x) = 2x \), usando la fórmula del área dada por la integral definida anterior, escribimos:
\[ \text{Área} = \int_{0}^{2} (2x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \left(\dfrac{x^2}{2}\right) \right]_0^2 = 4 \; \text{unidad}^2 \]El primer método es rápido pero funciona porque el área es la de un triángulo; sin embargo, el segundo método funciona para figuras distintas de los triángulos.
Encuentra el área de la región limitada por \( y = 0.1 x^3 \), \( y = 0 \), \(x = 2 \) y \( x = 4 \).
Primero graficamos la función dada e identificamos la región cuya área se va a encontrar.
Usa las integrales definidas para encontrar el área de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} \text{Área} &= \int_{2}^{4} (0.1x^3)\,dx \\ &= 0.1 \int_{2}^{4} x^3\,dx \\ &= 0.1 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_2^4 \\ &= 0.1 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) \\ &= 6 \;\text{unidad}^2 \end{aligned} \]Encuentra el área de la región finita limitada por la curva de \( y = 3(x - 1)(x - 3) \) y el eje x.
Observa que los límites de integración no están dados y, por lo tanto, es necesario un estudio detallado de la gráfica de la función dada. La gráfica de la función dada muestra que hay dos intersecciones con el eje x que son fáciles de encontrar ya que la función dada está en forma factorizada: \( x = 1 \) y \( x = 2 \) (Nota: debería ser x=3 para que sea correcto, pero el texto original tiene x=2 aquí, aunque la imagen y el cálculo posterior usan x=3. Se asume que es x=3 según el contexto). La región finita está limitada por la curva de \( y = 3(x - 1)(x - 3) \), \( x = 1 \), \( x = 3 \) y el eje x, como se muestra a continuación en el gráfico.
Usa las integrales definidas para encontrar el área de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} \int_{1}^{3} 3(x - 1)(x - 3)\,dx &= 3 \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,dx \\ &= 3 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 3x \right]_1^3 \\ &= 3 \left[ \left(\frac{3^3}{3} - \frac{4(3^2)}{2} + 3(3)\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{4(1^2)}{2} + 3(1)\right) \right] \\ &= -4 \end{aligned} \]OBSERVA que la integral definida encontrada es negativa y eso se debe a que y = 3(x - 1)(x - 3) es negativa entre los límites de integración x = 1 y x = 3. El área es el valor absoluto de -4 y, por lo tanto, es 4 unidad2.
Encuentra el área de la región finita limitada por la curva de \( y = - 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) y el eje x.
La función dada es un polinomio de grado 4 con coeficiente principal negativo. Graficamos la función dada y la estudiamos para identificar la región finita limitada por la curva y el eje x.
La gráfica de la función dada tiene 3 intersecciones con el eje x: \(x = - 2 \), \( 1 \) y \( 4 \). La región finita se compone de tres regiones.
La primera desde \( x = - 2 \) hasta \( x = 0 \). La segunda región desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \) y la tercera desde \( x = 1 \) hasta \( x = 4\).
Calculemos las siguientes integrales definidas tomando como límites las intersecciones con el eje x.
Región 1
\[ I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4)) \, dx \]Expande \( x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) y saca \( - 0.25 \) fuera de la operación de integración.
\[ \begin{aligned} I_1 &= -0.25 \int_{-2}^{0} \left( x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x \right) \, dx \\ &= -0.25 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} \right]_{-2}^{0} = 3.4 \end{aligned} \]Región 2
\[ \begin{aligned} I_2 &= \int_{0}^{1} \left(-0.25\, x (x + 2)(x - 1)(x - 4)\right)\,dx \\ &= -0.25 \int_{0}^{1} \left(x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x\right)\,dx \\ &= -0.25 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} \right]_{0}^{1} \\ &= -0.3625 \end{aligned} \]Región 3
\[ \begin{aligned} I_3 &= \int_{1}^{4} \big(-0.25\,x(x + 2)(x - 1)(x - 4)\big)\,dx \\ &= -0.25 \int_{1}^{4} \left(x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x\right)\,dx \\ &= -0.25 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} \right]_{1}^{4} \\ &= 13.1625 \end{aligned} \]Observa que \( I_2 \) es negativa porque entre \( x = 0 \) y \(x = 1 \), \( y = - 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) es negativa. Por lo tanto, necesitamos tomar el valor absoluto de \( I_2 \) para encontrar el área de la región desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \). De ahí que el área total esté dada por:
\[ \text{Área} = I_1 + | I_2 | + I_3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unidad}^2 \]Encuentra \( k \) para que el área de la región finita limitada por la curva de \( y = - x( x - k) \) y el eje x sea igual a \(4/3\) unidades2.
La gráfica de la función dada es una parábola que se abre hacia abajo y tiene dos intersecciones con el eje x: x = 0 y x = k. La región finita limitada por la curva y el eje x está delimitada en las intersecciones con el eje x, como se muestra en el gráfico a continuación.
El área entre la curva y y = 0 está dada por:
\[ \text{Área} = \int_{0}^{k} (- x( x - k)) \, dx \]Expande \( - x( x - k) \):
\[ = \int_{0}^{k} (- x^2 + kx ) \, dx = \left [ - x^3/3 + k x^2/2 \right ]_{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6 \]Como se esperaba, la expresión para el área incluye el parámetro k, que se calcula igualando el área a \( 4/3 \). Por lo tanto:
\[ k^3 / 6 = 4 / 3 \]Resuelve la ecuación anterior para k y obtén:
\[ k = 2 \]