Cómo encontrar el área bajo las curvas utilizando integrales definidas; se presentan tutoriales con ejemplos y soluciones detalladas. Al final de la página se proporciona un conjunto de ejercicios con respuestas. También se incluyen tutoriales sobre el área entre curvas.
Área bajo una curva: Repaso
Podemos aproximar el área bajo la curva desde \( x = x_1 \) hasta \( x = x_n \) dividiendo el área total en rectángulos.
Por ejemplo, el área del primer rectángulo está dada por:
\[ y \Delta x = f(x_1)\Delta x \]Sumar las áreas de estos rectángulos da:
\[ \text{Área aproximada} = \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]Si \( \Delta x \) en la aproximación anterior se vuelve lo suficientemente pequeño, la suma de las áreas de los rectángulos se acercará al valor exacto del área bajo la curva.
Por lo tanto, definimos el área exacta usando un límite:
\[ \text{Área exacta} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]Utilizando el concepto de integrales definidas, este límite se denota como:
Ahora presentamos varios ejemplos sobre cómo usar integrales para encontrar el área bajo una curva, completos con soluciones detalladas.
Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 1
Encuentra el área de la región acotada por \( y = 2x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( x = 2 \).
Solución al Ejemplo 1
Método 1: Fórmula geométrica para el área de un triángulo
\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \; \text{unidad}^2 \]Método 2: Usando cálculo (integrales definidas)
Sea \( f(x) = 2x \):
\[ \text{Área} = \int_{0}^{2} (2x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4 \; \text{unidad}^2 \]El primer método es rápido para triángulos, pero el cálculo funciona para curvas arbitrarias.
Ejemplo 2
Encuentra el área de la región acotada por \( y = 0.1x^3 \), \( y = 0 \), \( x = 2 \) y \( x = 4 \).
Solución al Ejemplo 2
Utiliza integrales definidas para encontrar el área:
\[ \begin{aligned} \text{Área} &= \int_{2}^{4} (0.1x^3)\,dx \\ &= 0.1 \int_{2}^{4} x^3\,dx \\ &= 0.1 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_2^4 \\ &= 0.1 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) = 6 \; \text{unidad}^2 \end{aligned} \]Ejemplo 3
Encuentra el área de la región finita acotada por la curva \( y = 3(x - 1)(x - 3) \) y el eje x.
Solución al Ejemplo 3
Los límites de integración son las intersecciones con el eje x, que son claramente \( x = 1 \) y \( x = 3 \) a partir de la forma factorizada.
\[ \begin{aligned} \int_{1}^{3} 3(x - 1)(x - 3)\,dx &= 3 \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,dx \\ &= 3 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^3 \\ &= 3 \left[ (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) \right] = -4 \end{aligned} \]Nota que la integral definida es negativa porque la curva está debajo del eje x entre \( x = 1 \) y \( x = 3 \). El área real es el valor absoluto: \( |-4| = 4 \; \text{unidad}^2 \).
Ejemplo 4
Encuentra el área de la región finita acotada por la curva \( y = -0.25x(x + 2)(x - 1)(x - 4) \) y el eje x.
Solución al Ejemplo 4
Las intersecciones con el eje x son \( x = -2 \), \( x = 1 \) y \( x = 4 \). La región se divide en tres partes: de \( -2 \) a \( 0 \), de \( 0 \) a \( 1 \) y de \( 1 \) a \( 4 \).
Región 1 (\( [-2, 0] \)):
\[ I_1 = -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 3.4 \]Región 2 (\( [0, 1] \)):
\[ I_2 = -0.25 \int_{0}^{1} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = -0.3625 \]Región 3 (\( [1, 4] \)):
\[ I_3 = -0.25 \int_{1}^{4} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 13.1625 \]Tomando el valor absoluto de las regiones negativas, el área total es:
\[ \text{Área} = I_1 + |I_2| + I_3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unidad}^2 \]Ejemplo 5
Encuentra \( k \) de modo que el área de la región finita acotada por \( y = -x(x - k) \) y el eje x sea igual a \( 4/3 \) unidades\(^2\).
Solución al Ejemplo 5
Las intersecciones están en \( x = 0 \) y \( x = k \):
\[ \text{Área} = \int_{0}^{k} (-x^2 + kx) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{kx^2}{2} \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{6} \]Igualando esto a \( 4/3 \):
\[ \frac{k^3}{6} = \frac{4}{3} \implies k^3 = 8 \implies k = 2 \]Ejercicios
- Encuentra el área de la región finita encerrada por \( y = -(x + 1)(x - 3) \) e \( y = 0 \).
- Encuentra el área de la región finita acotada por \( y = \sin(x) \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( x = 2\pi \).
- Encuentra \( k > 0 \) de modo que el área bajo la curva \( y = x + 2 \) entre los ejes verticales \( x = 0 \), \( x = k \) y el eje x sea igual a \( 2 \).
Respuestas a los ejercicios anteriores
- \( \dfrac{32}{3} \)
- \( 4 \)
- \( k = 2\sqrt{2} - 2 \)