Se presentan ejemplos, soluciones detalladas y ejercicios con respuestas sobre cómo utilizar las técnicas de completar el cuadrado y sustitución para evaluar integrales que involucran expresiones cuadráticas. También se incluyen ejercicios con sus respuestas.
Repaso de fórmulas de derivadas e integrales
NOTA: En lo que sigue, \( c \) es la constante de integración.
Primero repasamos algunas de las fórmulas de derivadas para funciones inversas conocidas que involucran expresiones cuadráticas:
\[ \begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arcsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arccosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{aligned} \]Ahora utilizamos las fórmulas de diferenciación anteriores para escribir las fórmulas de integración correspondientes:
Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 1
Evalúa la integral:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx \]Solución al Ejemplo 1
Primero completamos el cuadrado para la expresión \( -x^2 - x \):
\[ \begin{aligned} & -x^2 - x \\ & = -(x^2 + x) \\ & = -\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \end{aligned} \]Sustituye lo anterior en la integral dada:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2}} \, dx \]Saca factor común \( \dfrac{1}{4} \) de debajo de la raíz cuadrada:
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(1 - \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right)^2\right)}} \, dx = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}} \, dx \]Utiliza el método de sustitución: sea \( z = 2x + 1 \), de modo que \( dz = 2 \, dx \) (o \( dx = \dfrac{dz}{2} \)):
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz = \arcsin(z) + c \]Sustituye de nuevo \( z = 2x + 1 \) para obtener la respuesta final:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \arcsin(2x + 1) + c \]Ejemplo 2
Evalúa la integral:
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx \]Solución al Ejemplo 2
Primero completamos el cuadrado para la expresión \( 3x^2 + 12x + 24 \):
\[ \begin{aligned} & = 3(x^2 + 4x) + 24 \\ & = 3\left((x + 2)^2 - 4\right) + 24 \\ & = 3(x + 2)^2 - 12 + 24 = 3(x + 2)^2 + 12 \\ & = 12\left(\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 1\right) = 12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right) \end{aligned} \]Sustituye en la integral y utiliza la sustitución (\( z = \dfrac{x}{2} + 1 \), \( dx = 2 \, dz \)):
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx = \int \dfrac{2}{12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right)} \, dx = \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (2 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz \]Evalúa y sustituye de nuevo:
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x}{2} + 1\right) + c \]Ejemplo 3
Evalúa la integral:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \, dx \]Solución al Ejemplo 3
Completa el cuadrado para \( x^2 + 12x + 40 \):
\[ x^2 + 12x + 40 = (x + 6)^2 - 36 + 40 = (x + 6)^2 + 4 \]Reescribe la integral:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{(x + 6)^2 + 4}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{4\left(\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1\right)}} \, dx = \int \dfrac{1}{2\sqrt{\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1}} \, dx \]Sea \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \), de modo que \( dx = 2 \, dz \):
\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \, dz = \operatorname{arcsinh}(z) + c = \operatorname{arcsinh}\left(\dfrac{x}{2} + 3\right) + c \]Ejemplo 4
Evalúa la integral:
\[ \int \dfrac{1}{10 + x^2 - 2x} \, dx \]Solución al Ejemplo 4
Completa el cuadrado para el denominador \( 10 + x^2 - 2x \):
\[ x^2 - 2x + 10 = (x - 1)^2 - 1 + 10 = (x - 1)^2 + 9 \]Reescribe la integral y saca factor común \( 9 \):
\[ \int \dfrac{1}{(x - 1)^2 + 9} \, dx = \int \dfrac{1}{9\left(\left(\dfrac{x - 1}{3}\right)^2 + 1\right)} \, dx \]Sea \( z = \dfrac{x - 1}{3} \), de modo que \( dx = 3 \, dz \):
\[ = \dfrac{1}{9} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (3 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c \]Sustituye de nuevo \( z \):
\[ = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x - 1}{3}\right) + c \]Ejercicios
Evalúa las integrales dadas a continuación:
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 12x + 45} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2 + 10x + 13}} \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{5 + x^2 + 2x} \, dx \)
Respuestas a los ejercicios anteriores
- \( 3 \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \)
- \( \arctan\left(\dfrac{x}{3} + 2\right) + c \)
- \( \operatorname{arcsinh}(2x + 5) + c \)
- \( \dfrac{1}{2} \arctan\left(\dfrac{x + 1}{2}\right) + c \)