Ejemplos resueltos detalladamente y ejercicios con respuestas sobre cómo usar las técnicas de completar el cuadrado y sustitución para evaluar integrales que involucran expresiones cuadráticas.
También se incluyen Ejercicios con sus respuestas.
Primero repasamos algunas fórmulas de derivadas de funciones inversas conocidas que involucran expresiones cuadráticas.
\[
\begin{aligned}
& \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[15pt]
& \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1+x^2} \\[15pt]
& \dfrac{d}{dx} \text{arcsinh} \; x = \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \\[15pt]
& \dfrac{d}{dx} \text{arccosh} \; x = \dfrac{1}{\sqrt {x^2-1}} \\[15pt]
\end{aligned}
\]
Ahora usamos las fórmulas de diferenciación anteriores para escribir las integrales correspondientes.
\[
\begin{aligned}
& \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = \arcsin x + c \\[15pt]
& \int \dfrac{1}{1+x^2} \; dx = \arctan x + c \\[15pt]
& \int \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \; dx = \text{arcsinh} \; x + c\\[15pt]
& \int \dfrac{1}{\sqrt {x^2-1}} \; dx = \text{arccosh} \; x + c\\[15pt]
\end{aligned}
\]
Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \; dx \]
Primero completamos el cuadrado para la expresión \( - x^2 - x \) de la siguiente manera:
\[
\begin{aligned}
& {\text{Dada }} \\[8pt]
& - x^2 - x \\[15pt]
& {\text{Factorizar -1 }} \\[8pt]
& = - ( x^2 + x ) \\[15pt]
& {\text{Completar el cuadrado}}\\[8pt]
& = - (x + 1/2)^2 + 1/4
\end{aligned}
\]
Sustituimos lo anterior en la integral dada y reescribimos:
\[
\int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \; dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{1/4 - (x+1/2)^2}} \; dx
\]
Usamos el método de sustitución para evaluar la integral:
\[
\begin{aligned}
& {\text{Factorizar 1/4 dentro de la raíz cuadrada en la integral derecha }} \\[8pt]
& = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2(x+1/2))^2}} dx \\[15pt]
& {\text{Sea \( z = 2(x + 1/2) = 2x + 1\) y por lo tanto \( \dfrac{dz}{dx} = 2 \) o \( dx = \dfrac{dz}{2} \); la integral se convierte en}} \\[8pt]
& = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \; dz \\[15pt]
& {\text{Evaluamos la integral anterior usando las fórmulas del repaso}}\\[8pt]
& = \arcsin(z) + c \\[15pt]
& {\text{Sustituimos de nuevo \( z = 2(x + 1/2) \) para obtener la respuesta final}}\\[8pt]
& \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} dx = \arcsin(2x + 1) + c
\end{aligned}
\]
Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \; dx \]Primero completamos el cuadrado para la expresión \( 3x^2 + 12x + 24 \): \[ \begin{aligned} & {\text{Dada}} \\[8pt] & = 3x^2 + 12x + 24 \\[15pt] & {\text{Factorizar \( 3 \) en los términos en \( x^2 \) y \( x \)}} \\[8pt] & = 3( x^2 + 4x) + 24 \\[15pt] & {\text{Completar el cuadrado para \( x^2 + 4x \) dentro del paréntesis}} \\[8pt] & = 3( (x + 2)^2 - 2^2 ) + 24 \\[15pt] & {\text{Expandir y simplificar}} \\[8pt] & = 3\;(x + 2)^2 + 12 \\[15pt] & {\text{Factorizar \( 12 \)}} \\[8pt] & = 12 \; \left( \dfrac{1}{4} (x + 2)^2 + 1 \right)\\[15pt] & {\text{Reescribir como sigue}} \\[8pt] & = 12 \; \left( ( \dfrac{1}{2} (x + 2))^2 + 1 \right) \\[15pt] & = 12 \; \left( (\dfrac{x}{2} + 1)^2 + 1 \right) \\[15pt] \end{aligned} \] Usamos el método de sustitución para evaluar la integral: \[ \begin{aligned} & {\text{Sea \( z = \dfrac{x}{2} + 1 \) y por lo tanto \( dx = 2 \; dz \); reescribimos la integral como}} \\[8pt] & \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \; dx = \dfrac{1}{12} \; \int \dfrac{4}{z^2 + 1} \; dz \\[15pt] & {\text{Evaluamos la integral anterior usando las fórmulas del repaso}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{3} \; \arctan(z) + c \\[15pt] & {\text{Sustituimos de nuevo \( z = \dfrac{x}{2} + 1 \) para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{3} \; \arctan \left(\dfrac{x}{2} + 1 \right) + c \\[15pt] \end{aligned} \]
Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \; dx \]Completamos el cuadrado para la expresión \( x^2 + 12x + 40 \): \[ \begin{aligned} & {\text{Dada}} \\[8pt] & = x^2 + 12x + 40 \\[15pt] & {\text{Completar el cuadrado para \( x^2 + 12x \)}} \\[8pt] & = ( x + 6 )^2 + 4 \\[15pt] & {\text{La integral dada se puede escribir como}} \\[8pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \; dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{( x + 6 )^2 + 4}} \; dx \\[15pt] & {\text{Factorizar \( 4 \) dentro de la raíz cuadrada de la derecha}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{2\sqrt{ \left( \dfrac{x}{2} + 3 \right)^2 + 1}} \; dx \\[15pt] \end{aligned} \] Usamos el método de sustitución para evaluar la integral: \[ \begin{aligned} & {\text{Sea \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \), por lo tanto \( 2 dz = dx \); simplificamos y escribimos la integral como}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \; dz \\[15pt] & {\text{Evaluamos la integral anterior usando las fórmulas del repaso}} \\[8pt] & = \text{arcsinh}(z) + c \\[15pt] & {\text{Sustituimos de nuevo \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \) para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & = \text{arcsinh} \left( \dfrac{x}{2} + 3 \right) + c \\[15pt] \end{aligned} \]
Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{1}{10+x^2-2x}\; dx \]Completamos el cuadrado para el denominador \( 10+x^2-2x \): \[ \begin{aligned} & {\text{Dada}} \\[8pt] & = 10+x^2-2x \\[15pt] & {\text{Completar el cuadrado para el denominador \( 10+x^2-2x \)}} \\[8pt] & = (x-1)^2+9 \\[15pt] & {\text{La integral dada se puede escribir como}} \\[8pt] & \int \dfrac{1}{10+x^2-2x}\; dx = \int \dfrac{1}{ (x-1)^2+9 } \; dx \\[15pt] & {\text{Factorizar \( 9 \) en el denominador}} \\[8pt] & = \int \dfrac{1}{ 9 \left( \left(\dfrac{x-1}{3}\right)^2 + 1 \right)} \; dx \\[15pt] \end{aligned} \] Usamos el método de sustitución para evaluar la integral: \[ \begin{aligned} & {\text{Sea \( z = \dfrac{x - 1}{3} \), por lo tanto \( 3 \; dz = dx \); simplificamos y escribimos la integral como}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 9 } \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \; 3 \; dz \\[15pt] & {\text{Simplificamos y evaluamos la integral anterior usando las fórmulas del repaso}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 3} \arctan(z) + c \\[15pt] & {\text{Sustituimos de nuevo \( z = \dfrac{x - 1}{3} \) para obtener la respuesta final}} \\[8pt] & = \dfrac{1}{ 3} \arctan \left( \dfrac{x - 1}{3}\right) + c \\[15pt] \end{aligned} \]
Evalúa las integrales dadas a continuación.