Tutoriales con ejemplos y soluciones detalladas y ejercicios con respuestas sobre cómo utilizar la poderosa técnica de integración por sustitución para encontrar integrales.
Solución al Ejemplo 1:
Sea \( u = ax + b \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = a \) o \( dx = \dfrac{1}{a} du \). La sustitución ayuda a calcular la integral de la siguiente manera
\[
\begin{align*}
\int \sin(ax + b) \, dx
&= \frac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\
&= -\frac{1}{a} \cos(u) + C \\
&= -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 2:
Sea \( u = 3x - 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) o \( dx = \dfrac{1}{3} du \). Por lo tanto
\[
\begin{align*}
\int e^{3x - 2} dx
&= \int e^{u} \cdot \frac{1}{3} du \\
&= \frac{1}{3} e^{u} \\
&= \frac{1}{3} e^{3x - 2} + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 3:
Sea \( u = 2x^2 + 5 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 4x \), \( du = 4x \, dx \), \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \). La sustitución da
\[
\begin{align*}
\int x (2x^2 + 5)^4 \, dx
&= \int \frac{1}{4} u^4 \, du \\
&= \frac{1}{20} u^5 \\
&= \frac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 4:
Sea \( u = 2x + 1 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) y \( dx = \dfrac{1}{2} du \). Resuelve \( u = 2x + 1 \) para \( x \) y obtén \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \). La sustitución da
\[
\begin{align*}
\int x \sqrt{2x + 1} \, dx
&= \int \frac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du \\
&= \frac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\
&= \frac{1}{4} \left( \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} \right) \\
&= \frac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 5:
Sea \( u = x - 5 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \). Sustituyendo en la integral dada, obtenemos
\[
\begin{align*}
\int (x - 5)^{-4} \, dx
&= \int u^{-4} \, du \\
&= -\frac{1}{3} u^{-3} \\
&= -\frac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 6:
Sea \( u = x^2 + 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) y \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \). Una sustitución en la integral dada da
\[
\begin{align*}
\int -x e^{x^2 + 2} \, dx
&= \int - e^{u} \cdot \frac{1}{2} \, du \\
&= -\frac{1}{2} \int e^{u} \, du \\
&= -\frac{1}{2} e^{u} \\
&= -\frac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 7:
Sea \( u = \sin(x) \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) o \( \cos(x) \, dx = du \). Sustituye en la integral para obtener
\[
\begin{align*}
\int \cos(x) \sin^4(x) \, dx
&= \int u^4 \, du \\
&= \frac{1}{5} u^5 \\
&= \frac{1}{5} \sin^5(x) + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 8:
Sea \( u = 4x + 1 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) o \( dx = \dfrac{1}{4} du \). Resuelve \( u = 4x + 1 \) para \( x \) y obtén \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \). Sustituye para obtener
\[
\begin{align*}
\int \frac{3x}{4x + 1} \, dx
&= \int 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{u - 1}{u} \, du \\
&= \frac{3}{16} \int \frac{u - 1}{u} \, du \\
&= \frac{3}{16} \int \left( 1 - \frac{1}{u} \right) \, du \\
&= \frac{3}{16} (u - \ln|u|) \\
&= \frac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 9:
Sea \( u = x - 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) y \( x = u + 2 \). Sustitución
\[
\begin{align*}
\int \frac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx
&= \int \frac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\
&= \int \big(u^{1/2} + 2 u^{-1/2}\big) \, du \\
&= \frac{2}{3} u^{3/2} + 4 \sqrt{u} \\
&= \frac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4 \sqrt{x - 2} + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 10:
Sea \( u = x + 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) y también \( x = u - 2 \). Usando la sustitución anterior obtenemos
\[
\begin{align*}
\int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx
&= \int u^3 (u + 4)^2 \, du \\
&= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\
&= \frac{1}{6} u^6 + \frac{4}{5} u^5 + u^4 \\
&= \frac{1}{6} (x + 2)^6 + \frac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C
\end{align*}
\]
Solución al Ejemplo 11:
Sea \( u = x^2 + 3x + 1 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) o \( (2x + 3) \, dx = du \). La sustitución ayuda a calcular la integral de la siguiente manera
\[
\begin{align*}
\int \frac{1}{u} du &= \ln|u| \\
&= \ln|x^2 + 3x + 1| + C
\end{align*}
\]