Tutoriales con ejemplos, soluciones detalladas y ejercicios con respuestas sobre cómo utilizar la potente técnica de integración por sustitución para hallar integrales.
Repaso de la integración por sustitución
El método de integración por sustitución se puede utilizar para calcular fácilmente integrales complejas. Examinemos una integral de la forma:
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx \]Hagamos la sustitución \( u = g(x) \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \) y \( du = g'(x) \, dx \). Con esta sustitución, la integral definida se transforma en:
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du \]En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración que se añade a las integrales indefinidas.
Ejemplos y sus soluciones
Haz clic en cada ejemplo para ver la solución paso a paso.
Ejemplo 1: Evalúa \( \displaystyle \int \sin(ax + b) \, dx \)
Sea \( u = ax + b \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = a \) o \( dx = \dfrac{1}{a} \, du \). La sustitución ayuda a calcular la integral de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} \int \sin(ax + b) \, dx &= \dfrac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(u) + C \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + C \end{aligned} \]Ejemplo 2: Evalúa \( \displaystyle \int e^{3x - 2} \, dx \)
Sea \( u = 3x - 2 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) o \( dx = \dfrac{1}{3} \, du \). Por lo tanto:
\[ \begin{aligned} \int e^{3x - 2} \, dx &= \int e^u \cdot \dfrac{1}{3} \, du \\ &= \dfrac{1}{3} e^u + C \\ &= \dfrac{1}{3} e^{3x - 2} + C \end{aligned} \]Ejemplo 3: Evalúa \( \displaystyle \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \)
Sea \( u = 2x^2 + 5 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 4x \), \( du = 4x \, dx \), o \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \). La sustitución da:
\[ \begin{aligned} \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx &= \int \dfrac{1}{4} u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{20} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \end{aligned} \]Ejemplo 4: Evalúa \( \displaystyle \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \)
Sea \( u = 2x + 1 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) y \( dx = \dfrac{1}{2} \, du \). Despeja \( x \) de \( u = 2x + 1 \) para obtener \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \). La sustitución da:
\[ \begin{aligned} \int x \sqrt{2x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right) + C \\ &= \dfrac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C \end{aligned} \]Ejemplo 5: Evalúa \( \displaystyle \int (x - 5)^{-4} \, dx \)
Sea \( u = x - 5 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \). Sustituyendo en la integral dada:
\[ \begin{aligned} \int (x - 5)^{-4} \, dx &= \int u^{-4} \, du \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C \end{aligned} \]Ejemplo 6: Evalúa \( \displaystyle \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \)
Sea \( u = x^2 + 2 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) y \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \). Sustituyendo en la integral:
\[ \begin{aligned} \int -x e^{x^2 + 2} \, dx &= \int -e^u \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \end{aligned} \]Ejemplo 7: Evalúa \( \displaystyle \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \)
Sea \( u = \sin(x) \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) o \( \cos(x) \, dx = du \). Sustituyendo en la integral:
\[ \begin{aligned} \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{5} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{5} \sin^5(x) + C \end{aligned} \]Ejemplo 8: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \)
Sea \( u = 4x + 1 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) o \( dx = \dfrac{1}{4} \, du \). Despejar \( x \) da \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \). Sustituye para obtener:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx &= \int 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{u - 1}{u} \, du \\ &= \dfrac{3}{16} \int \left( 1 - \dfrac{1}{u} \right) du \\ &= \dfrac{3}{16} (u - \ln|u|) + C \\ &= \dfrac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C \end{aligned} \]Ejemplo 9: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \)
Sea \( u = x - 2 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) y \( x = u + 2 \). La sustitución produce:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx &= \int \dfrac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\ &= \int \left(u^{1/2} + 2u^{-1/2}\right) du \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + 4\sqrt{u} + C \\ &= \dfrac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4\sqrt{x - 2} + C \end{aligned} \]Ejemplo 10: Evalúa \( \displaystyle \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx \)
Sea \( u = x + 2 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) y \( x = u - 2 \) (por lo que \( x + 4 = u + 2 \)). Sustituyendo esto:
\[ \begin{aligned} \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx &= \int u^3 (u + 2)^2 \, du \\ &= \int u^3 (u^2 + 4u + 4) \, du \\ &= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\ &= \dfrac{1}{6} u^6 + \dfrac{4}{5} u^5 + u^4 + C \\ &= \dfrac{1}{6} (x + 2)^6 + \dfrac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \end{aligned} \]Ejemplo 11: Evalúa \( \displaystyle \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \)
Sea \( u = x^2 + 3x + 1 \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) o \( (2x + 3) \, dx = du \). La sustitución calcula la integral de la siguiente manera:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln|x^2 + 3x + 1| + C \end{aligned} \]Ejercicios
Utiliza la tabla de integrales y el método de integración por sustitución para hallar las siguientes integrales:
- \( \displaystyle \int \cos(3x - 2) \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^{4x - 7} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx \)
Respuestas a los ejercicios anteriores
- \( \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) + C \)
- \( \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
- \( \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
- \( -\dfrac{1}{2(x + 3)^2} + C \)